Duas massas e estão presas por uma mola de massa desprezível (constante da força e comprimento natural ) e estão confinadas ao movimento em um plano horizontal sem atrito, com CM e posições relativas e como definidas na Seção 8.2. Obtenha a Hamiltoniana usando como coordenadas generalizadas , onde são as componentes retangulares de e são as coordenadas polares de . Quais coordenadas são ignoráveis e quais não são? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala de duas massas, e , ligadas por uma mola que tem constante e comprimento natural . Essas massas estão se movendo em um plano horizontal sem atrito. A gente precisa achar a Hamiltoniana usando coordenadas generalizadas , onde são as posições do centro de massa e são coordenadas polares para a posição relativa entre as duas massas. Também precisamos descobrir quais dessas coordenadas são ignoráveis, ou seja, aquelas que não afetam a energia total do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica clássica, especialmente Hamiltoniana, coordenadas generalizadas e o conceito de coordenadas ignoráveis. Vamos passo a passo para não ficar nada confuso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Hamiltoniana . Na mecânica clássica, a Hamiltoniana representa a energia total do sistema, que é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Então, nosso primeiro objetivo é encontrar e em termos das coordenadas .

Passo 3

Vamos começar com a energia cinética . Para duas massas, a energia cinética total é a soma das energias cinéticas de cada massa. Se e são as velocidades das massas e , respectivamente, então:
Mas queremos expressar em termos das coordenadas . Para isso, usamos as posições do centro de massa e a posição relativa.

Passo 4

A posição do centro de massa é dada por:
E a posição relativa pode ser expressa em coordenadas polares:
Agora, precisamos expressar as velocidades e em termos das derivadas dessas coordenadas.

Passo 5

As velocidades das massas são as derivadas das posições em relação ao tempo. Usando a posição do centro de massa e a relativa, temos:
Onde e envolve e .

Passo 6

Vamos calcular em coordenadas polares. Sabemos que:
E a velocidade ao quadrado é:
Isso simplifica a expressão da energia cinética.

Passo 7

Agora, substituímos as expressões das velocidades e na energia cinética total:
Onde é a massa reduzida.

Passo 8

Agora, vamos para a energia potencial . A energia potencial armazenada na mola é dada por:
Isso porque a mola só depende da extensão ou compressão relativa em relação ao comprimento natural .

Passo 9

Com e definidos, podemos escrever a Hamiltoniana :
Mas geralmente a Hamiltoniana é expressa em termos dos momentos conjugados, então vamos ajustar isso.

Passo 10

Para expressar a Hamiltoniana em termos dos momentos conjugados, precisamos definir os momentos ligados a cada coordenada generalizada:
Então, a Hamiltoniana fica:

Passo 11

Agora, vamos identificar quais coordenadas são ignoráveis. Uma coordenada é ignorável se ela não aparece na Hamiltoniana, o que implica que seu momento conjugado é uma constante de movimento.
Observando a Hamiltoniana:
  • e não aparecem em nenhuma parte da Hamiltoniana além dos termos e . Portanto, e são coordenadas ignoráveis.
  • e aparecem explicitamente na Hamiltoniana, tanto nas partes cinética quanto na potencial. Portanto, e não são coordenadas ignoráveis.

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é:
As coordenadas ignoráveis são e , pois seus momentos conjugados e são constantes de movimento e elas não aparecem de forma independente na Hamiltoniana. Já e são coordenadas que influenciam a energia total, então não são ignoráveis.

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