Duas massas
e
estão presas por uma mola de massa desprezível (constante da força
e comprimento natural
) e estão confinadas ao movimento em um plano horizontal sem atrito, com CM e posições relativas
e
como definidas na Seção 8.2. Obtenha a Hamiltoniana
usando como coordenadas generalizadas
, onde
são as componentes retangulares de
e
são as coordenadas polares de
. Quais coordenadas são ignoráveis e quais não são? Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala de duas massas,
e
, ligadas por uma mola que tem constante
e comprimento natural
. Essas massas estão se movendo em um plano horizontal sem atrito. A gente precisa achar a Hamiltoniana
usando coordenadas generalizadas
, onde
são as posições do centro de massa e
são coordenadas polares para a posição relativa entre as duas massas. Também precisamos descobrir quais dessas coordenadas são ignoráveis, ou seja, aquelas que não afetam a energia total do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica clássica, especialmente Hamiltoniana, coordenadas generalizadas e o conceito de coordenadas ignoráveis. Vamos passo a passo para não ficar nada confuso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Hamiltoniana
. Na mecânica clássica, a Hamiltoniana representa a energia total do sistema, que é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Então, nosso primeiro objetivo é encontrar
e
em termos das coordenadas
.
Passo 3
Vamos começar com a energia cinética
. Para duas massas, a energia cinética total é a soma das energias cinéticas de cada massa. Se
e
são as velocidades das massas
e
, respectivamente, então:
Mas queremos expressar
em termos das coordenadas
. Para isso, usamos as posições do centro de massa e a posição relativa.
Passo 4
A posição do centro de massa
é dada por:
E a posição relativa
pode ser expressa em coordenadas polares:
Agora, precisamos expressar as velocidades
e
em termos das derivadas dessas coordenadas.
Passo 5
As velocidades das massas são as derivadas das posições em relação ao tempo. Usando a posição do centro de massa e a relativa, temos:
Onde
e
envolve
e
.
Passo 6
Vamos calcular
em coordenadas polares. Sabemos que:
E a velocidade ao quadrado é:
Isso simplifica a expressão da energia cinética.
Passo 7
Agora, substituímos as expressões das velocidades
e
na energia cinética total:
Onde
é a massa reduzida.
Passo 8
Agora, vamos para a energia potencial
. A energia potencial armazenada na mola é dada por:
Isso porque a mola só depende da extensão ou compressão relativa
em relação ao comprimento natural
.
Passo 9
Com
e
definidos, podemos escrever a Hamiltoniana
:
Mas geralmente a Hamiltoniana é expressa em termos dos momentos conjugados, então vamos ajustar isso.
Passo 10
Para expressar a Hamiltoniana em termos dos momentos conjugados, precisamos definir os momentos ligados a cada coordenada generalizada:
Então, a Hamiltoniana fica:
Passo 11
Agora, vamos identificar quais coordenadas são ignoráveis. Uma coordenada é ignorável se ela não aparece na Hamiltoniana, o que implica que seu momento conjugado é uma constante de movimento.
Observando a Hamiltoniana:
-
e não aparecem em nenhuma parte da Hamiltoniana além dos termos e . Portanto, e são coordenadas ignoráveis. -
e aparecem explicitamente na Hamiltoniana, tanto nas partes cinética quanto na potencial. Portanto, e não são coordenadas ignoráveis.
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é:
As coordenadas ignoráveis são
e
, pois seus momentos conjugados
e
são constantes de movimento e elas não aparecem de forma independente na Hamiltoniana. Já
e
são coordenadas que influenciam a energia total, então não são ignoráveis.