Considere um pião consistindo em um cone uniforme girando livremente sobre sua ponta com 1800 rpm . Se sua altura é 10 cm e sua base tem raio
, com qual velocidade angular ele entra em precessão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um pião que é na forma de um cone uniforme girando livremente sobre sua ponta a 1800 rotações por minuto (rpm). As dimensões do cone são: altura de 10 cm e raio da base de 2,5 cm. A questão pede para descobrir com qual velocidade angular ele entra em precessão.
Aqui, estamos lidando com Dinâmica de Gires e Precessão de Pião. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia, torque e relação entre a rotação de spin e a precessão.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo, que é a unidade padrão para velocidade angular.
Sabemos que:
Então, para 1800 rpm:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o momento de inércia do cone em relação ao eixo de rotação. Para um cone uniforme girando em torno do seu vértice, o momento de inércia é dado por:
onde
é a massa do cone e
é o raio da base.
Mas como a massa não foi fornecida, vamos assumir que precisamos relacionar as outras variáveis. No caso, como vamos relacionar torque e momento de inércia, a massa pode se cancelar no processo.
Passo 4
O torque (
) que causa a precessão vem do peso do cone agindo na sua altura. O torque é dado por:
onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura do centro de massa, -
é o ângulo da inclinação (que assumiremos pequeno, então ).
Para um cone uniforme, o centro de massa está localizado a
da altura a partir da base:
Agora, a relação entre torque, momento de inércia e velocidade angular de precessão (
) é:
Substituindo os valores:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Agora, isolamos
:
Resposta
Substituindo os valores numéricos:
Portanto, a velocidade angular de precessão é aproximadamente 6,96 rad/s.