Considere um pião consistindo em um cone uniforme girando livremente sobre sua ponta com 1800 rpm . Se sua altura é 10 cm e sua base tem raio , com qual velocidade angular ele entra em precessão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um pião que é na forma de um cone uniforme girando livremente sobre sua ponta a 1800 rotações por minuto (rpm). As dimensões do cone são: altura de 10 cm e raio da base de 2,5 cm. A questão pede para descobrir com qual velocidade angular ele entra em precessão.
Aqui, estamos lidando com Dinâmica de Gires e Precessão de Pião. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia, torque e relação entre a rotação de spin e a precessão.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo, que é a unidade padrão para velocidade angular.
Sabemos que:
Então, para 1800 rpm:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o momento de inércia do cone em relação ao eixo de rotação. Para um cone uniforme girando em torno do seu vértice, o momento de inércia é dado por:
onde é a massa do cone e é o raio da base.
Mas como a massa não foi fornecida, vamos assumir que precisamos relacionar as outras variáveis. No caso, como vamos relacionar torque e momento de inércia, a massa pode se cancelar no processo.

Passo 4

O torque ( ) que causa a precessão vem do peso do cone agindo na sua altura. O torque é dado por:
onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura do centro de massa,
  • é o ângulo da inclinação (que assumiremos pequeno, então ).
Para um cone uniforme, o centro de massa está localizado a da altura a partir da base:
Agora, a relação entre torque, momento de inércia e velocidade angular de precessão ( ) é:
Substituindo os valores:
Podemos simplificar dos dois lados:
Agora, isolamos :

Resposta

Substituindo os valores numéricos:
Portanto, a velocidade angular de precessão é aproximadamente 6,96 rad/s.

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