Um hemisfério sólido e uniforme de raio
tem a sua base plana no plano
, com seu centro na origem. Use o resultado do Problema 10.4 para determinar o centro de massa. [Comente: este e os dois próximos problemas são planejados para reativar suas habilidades em determinar centros de massa por integração. Em todos os casos, você precisará usar a forma da integral definida em (10.1) para o CM. Se a massa estiver distribuída em um volume (como aqui), a integral será uma integral de volume com
.] © E se
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar o centro de massa de um hemisfério sólido e uniforme. A gente vai usar conceitos de integração para calcular o centro de massa de um objeto com distribuição de massa em todo o volume. Para isso, precisamos saber como montar a integral para o centro de massa e entender como calcular integrais no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa (
) de um objeto homogêneo é dado pela média ponderada das posições de todas as partículas que compõem o objeto. No caso de um hemisfério, como ele é simétrico em relação ao eixo
, o centro de massa vai estar ao longo desse eixo. Então, só precisamos encontrar a coordenada
.
A fórmula para
é:
onde
é a massa total do hemisfério e
é um elemento de massa.
Passo 3
Como o hemisfério é uniforme, a densidade de massa
é constante e podemos escrever
, onde
é um elemento de volume. Então, a fórmula fica:
Sabemos que a massa total
é igual à densidade vezes o volume:
Para um hemisfério de raio
, o volume é:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Agora, substituímos
na fórmula de
:
Passo 5
Para calcular a integral
, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Assim, a integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral em
:
Em seguida, a integral em
:
Vamos usar uma substituição: seja
, então
. A integral fica:
Por fim, a integral em
:
Passo 7
Agora, multiplicando todas as integrais:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
O centro de massa do hemisfério está localizado a uma distância de
acima da base plana, ao longo do eixo
.