Um hemisfério sólido e uniforme de raio tem a sua base plana no plano , com seu centro na origem. Use o resultado do Problema 10.4 para determinar o centro de massa. [Comente: este e os dois próximos problemas são planejados para reativar suas habilidades em determinar centros de massa por integração. Em todos os casos, você precisará usar a forma da integral definida em (10.1) para o CM. Se a massa estiver distribuída em um volume (como aqui), a integral será uma integral de volume com .] © E se ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar o centro de massa de um hemisfério sólido e uniforme. A gente vai usar conceitos de integração para calcular o centro de massa de um objeto com distribuição de massa em todo o volume. Para isso, precisamos saber como montar a integral para o centro de massa e entender como calcular integrais no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa ( ) de um objeto homogêneo é dado pela média ponderada das posições de todas as partículas que compõem o objeto. No caso de um hemisfério, como ele é simétrico em relação ao eixo , o centro de massa vai estar ao longo desse eixo. Então, só precisamos encontrar a coordenada .
A fórmula para é:
onde é a massa total do hemisfério e é um elemento de massa.

Passo 3

Como o hemisfério é uniforme, a densidade de massa é constante e podemos escrever , onde é um elemento de volume. Então, a fórmula fica:
Sabemos que a massa total é igual à densidade vezes o volume:
Para um hemisfério de raio , o volume é:

Passo 4

Substituindo na expressão de :
Agora, substituímos na fórmula de :

Passo 5

Para calcular a integral , vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Assim, a integral fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral em :
Em seguida, a integral em :
Vamos usar uma substituição: seja , então . A integral fica:
Por fim, a integral em :

Passo 7

Agora, multiplicando todas as integrais:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

O centro de massa do hemisfério está localizado a uma distância de acima da base plana, ao longo do eixo .

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