Um sistema consiste em massas nas posições relativas a uma origem fixa . Seja denotando a posição de relativa ao CM, isto é, . Mostre a relação útil . Você é capaz de explicar por que essa relação é praticamente óbvia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício que envolve um sistema com várias massas e suas posições relativas a uma origem fixa. A gente precisa mostrar que a soma das massas multiplicadas pelas suas posições relativas ao centro de massa dá zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de centro de massa e propriedades vetoriais básicas. Vamos passo a passo entender e provar essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa (CM). O centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as massas no sistema. A posição do CM, , é dada pela fórmula:
onde é a massa total do sistema.

Passo 3

Agora, queremos expressar a posição de cada massa relativa ao centro de massa. Isso é feito subtraindo a posição do CM da posição de cada massa:
Essa posição relativa nos ajuda a analisar o movimento das massas em relação ao centro de massa.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que a soma das massas multiplicadas por suas posições relativas ao CM é zero:
Vamos substituir pela expressão que encontramos:

Passo 5

Simplificando a expressão acima, sabemos que , onde é a massa total. Então:
Ou seja:

Passo 6

Essa relação faz sentido porque, por definição, o centro de massa é o ponto onde a média ponderada das posições das massas se anula. Ou seja, quando você considera as posições relativas ao CM, o balanço das massas está perfeitamente equilibrado, resultando em zero.

Resposta

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