Um sistema consiste em
massas
nas posições
relativas a uma origem fixa
. Seja
denotando a posição de
relativa ao CM, isto é,
. Mostre a relação útil
. Você é capaz de explicar por que essa relação é praticamente óbvia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício que envolve um sistema com várias massas e suas posições relativas a uma origem fixa. A gente precisa mostrar que a soma das massas multiplicadas pelas suas posições relativas ao centro de massa dá zero, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de centro de massa e propriedades vetoriais básicas. Vamos passo a passo entender e provar essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa (CM). O centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as massas no sistema. A posição do CM,
, é dada pela fórmula:
onde
é a massa total do sistema.
Passo 3
Agora, queremos expressar a posição de cada massa relativa ao centro de massa. Isso é feito subtraindo a posição do CM da posição de cada massa:
Essa posição relativa nos ajuda a analisar o movimento das massas em relação ao centro de massa.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que a soma das massas multiplicadas por suas posições relativas ao CM é zero:
Vamos substituir
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão acima, sabemos que
, onde
é a massa total. Então:
Ou seja:
Passo 6
Essa relação faz sentido porque, por definição, o centro de massa é o ponto onde a média ponderada das posições das massas se anula. Ou seja, quando você considera as posições relativas ao CM, o balanço das massas está perfeitamente equilibrado, resultando em zero.