Considere um projétil pontual movendo-se em um campo de força esférico e fixo, cuja energia potencial é
onde é uma constante positiva. Este, chamado de poço esférico, representa um projétil que se move livremente em alguma das regiões e , mas, quando ele cruza a fronteira , recebe um impulso para dentro radialmente que modifica sua energia cinética por ( , para dentro, , para fora). (a) Esboce a órbita de um projétil que se aproxima do poço com momento e parâmetro de impacto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a órbita de um projétil que está se movendo em torno de um poço esférico. A energia potencial desse poço é definida por:
Aqui, é uma constante positiva, e é o raio do poço. O projétil tem um momento inicial e um parâmetro de impacto que é menor que ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos em potenciais esféricos e como a energia cinética muda quando o projétil cruza a fronteira do poço ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o projétil se comporta fora e dentro do poço.
  • Fora do poço ( ): A energia potencial , então o projétil se move livremente com energia cinética constante.
  • Dentro do poço ( ): A energia potencial é , o que significa que o projétil tem menos energia do que fora. Quando o projétil entra no poço, sua energia cinética muda por dependendo da direção do impulso.

Passo 3

Como o parâmetro de impacto , o projétil vai entrar dentro do poço. Vamos visualizar isso:
  1. Abordagem: O projétil se aproxima da origem com um parâmetro de impacto , o que garante que ele vai passar por dentro do poço.
  2. Entrada no Poço ( ): Ao cruzar , o projétil recebe um impulso radial que altera sua energia cinética. Como , assumimos que ele recebe um impulso para dentro, ou seja, aumenta sua energia cinética em .
  3. Movimento dentro do Poço: Com a energia cinética aumentada, o projétil se move livremente dentro do poço, mas agora com uma trajetória que pode ser diferente da entrada devido à mudança de energia.
  4. Saída do Poço ( novamente): Quando o projétil sai do poço, ele recebe outro impulso radial que reduz sua energia cinética em , retornando à condição original fora do poço.

Passo 4

Agora, vamos pensar na trajetória:
  • Fora do Poço: O projétil se move em uma linha reta até chegar na fronteira do poço.
  • Dentro do Poço: Devido ao impulso para dentro, a trajetória pode curvar-se, formando uma espécie de órbita elíptica ou circular, dependendo da quantidade de energia e do impulso recebido.
  • De Volta para Fora: Ao sair, a trajetória volta a ser uma linha reta, mas com um ângulo diferente devido à modificação na direção causada pelo impulso interno.

Passo 5

Vamos resumir tudo isso em um esboço da órbita:
  1. Linha de Aproximação: Uma reta representando o caminho do projétil antes de entrar no poço.
  2. Curva Dentro do Poço: Uma curva que mostra a trajetória curvada dentro do poço devido ao impulso radial que altera a energia cinética.
  3. Linha de Saída: Uma nova reta que sai do poço, indicando o caminho após a saída com a energia modificada.

Resposta

A órbita do projétil começa com uma trajetória retilínea que se aproxima do poço com parámetro de impacto . Ao alcançar a fronteira , o projétil curva-se para dentro devido ao impulso radial que aumenta sua energia cinética. Dentro do poço, a trajetória pode formar uma curva fechada ou uma curva mais ampla, dependendo da energia. Quando o projétil sai do poço, ele retorna a uma trajetória retilínea, mas desviada em relação à direção inicial. O esboço geral mostra uma entrada retilínea, uma curva dentro do poço e uma saída retilínea em um ângulo diferente.

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