Considere um projétil pontual movendo-se em um campo de força esférico e fixo, cuja energia potencial é
onde
é uma constante positiva. Este, chamado de poço esférico, representa um projétil que se move livremente em alguma das regiões
e
, mas, quando ele cruza a fronteira
, recebe um impulso para dentro radialmente que modifica sua energia cinética por
(
, para dentro,
, para fora). (a) Esboce a órbita de um projétil que se aproxima do poço com momento
e parâmetro de impacto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a órbita de um projétil que está se movendo em torno de um poço esférico. A energia potencial desse poço é definida por:
Aqui,
é uma constante positiva, e
é o raio do poço. O projétil tem um momento inicial
e um parâmetro de impacto
que é menor que
(
). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos em potenciais esféricos e como a energia cinética muda quando o projétil cruza a fronteira do poço (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o projétil se comporta fora e dentro do poço.
-
Fora do poço (
): A energia potencial , então o projétil se move livremente com energia cinética constante. -
Dentro do poço (
): A energia potencial é , o que significa que o projétil tem menos energia do que fora. Quando o projétil entra no poço, sua energia cinética muda por dependendo da direção do impulso.
Passo 3
Como o parâmetro de impacto
, o projétil vai entrar dentro do poço. Vamos visualizar isso:
-
Abordagem: O projétil se aproxima da origem com um parâmetro de impacto
, o que garante que ele vai passar por dentro do poço. -
Entrada no Poço (
): Ao cruzar , o projétil recebe um impulso radial que altera sua energia cinética. Como , assumimos que ele recebe um impulso para dentro, ou seja, aumenta sua energia cinética em . -
Movimento dentro do Poço: Com a energia cinética aumentada, o projétil se move livremente dentro do poço, mas agora com uma trajetória que pode ser diferente da entrada devido à mudança de energia.
-
Saída do Poço (
novamente): Quando o projétil sai do poço, ele recebe outro impulso radial que reduz sua energia cinética em , retornando à condição original fora do poço.
Passo 4
Agora, vamos pensar na trajetória:
-
Fora do Poço: O projétil se move em uma linha reta até chegar na fronteira do poço.
-
Dentro do Poço: Devido ao impulso para dentro, a trajetória pode curvar-se, formando uma espécie de órbita elíptica ou circular, dependendo da quantidade de energia e do impulso recebido.
-
De Volta para Fora: Ao sair, a trajetória volta a ser uma linha reta, mas com um ângulo diferente devido à modificação na direção causada pelo impulso interno.
Passo 5
Vamos resumir tudo isso em um esboço da órbita:
-
Linha de Aproximação: Uma reta representando o caminho do projétil antes de entrar no poço.
-
Curva Dentro do Poço: Uma curva que mostra a trajetória curvada dentro do poço devido ao impulso radial que altera a energia cinética.
-
Linha de Saída: Uma nova reta que sai do poço, indicando o caminho após a saída com a energia modificada.
Resposta
A órbita do projétil começa com uma trajetória retilínea que se aproxima do poço com parámetro de impacto
. Ao alcançar a fronteira
, o projétil curva-se para dentro devido ao impulso radial que aumenta sua energia cinética. Dentro do poço, a trajetória pode formar uma curva fechada ou uma curva mais ampla, dependendo da energia. Quando o projétil sai do poço, ele retorna a uma trajetória retilínea, mas desviada em relação à direção inicial. O esboço geral mostra uma entrada retilínea, uma curva dentro do poço e uma saída retilínea em um ângulo diferente.