Nossa definição da seção de choque de espalhamento,
, se aplica a um experimento usando um feixe estreito de projéteis, todos passando através de um grande conjunto de alvos. Em algumas ocasiões, experimentalistas utilizam um feixe largo incidente, que engole completamente um conjunto pequeno de alvos (por exemplo, o feixe de fótons de um farol de carro, dirigido para um pedaço pequeno de plástico). Mostre que neste caso
, onde
é a densidade (número/área) do feixe incidente, visto frontalmente, e
é o número total de alvos no conjunto de alvos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a seção de choque de espalhamento, que é uma forma de medir a probabilidade de partículas incidirem e interagirem com alvos. A questão compara dois cenários: um com um feixe estreito de projéteis passando por muitos alvos e outro com um feixe largo englobando um pequeno conjunto de alvos. Vamos precisar entender a definição de seção de choque e como aplicar isso em ambos os casos para chegar à fórmula desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição básica da seção de choque de espalhamento:
Aqui,
é o número de espalhamentos,
é o número de partículas incidentes,
é a densidade de alvos (número por área), e
é a seção de choque.
Passo 3
No caso tradicional, temos um feixe estreito de projéteis (
) passando por um grande número de alvos com densidade
. Mas o enunciado pede para considerar um feixe largo, onde o feixe cobre completamente um conjunto pequeno de alvos (
).
Passo 4
Quando o feixe é largo, em vez de pensar no número de partículas incidentes, precisamos pensar na densidade do feixe incidente, que é o número de partículas por área. Vamos chamar essa densidade de
.
Passo 5
Agora, considerando que o feixe largo cobre toda a área dos alvos, o número total de partículas que interagem com o conjunto de alvos será o produto da densidade do feixe incidente pela área total coberta pelos alvos. Como temos
alvos, a área total é proporcional a
.
Passo 6
Substituindo essas considerações na fórmula original, temos:
Isso mostra que, para um feixe largo englobando um conjunto pequeno de alvos, o número de espalhamentos depende da densidade do feixe
, do número total de alvos
, e da seção de choque
.
Resposta
Portanto, mostramos que para um feixe largo incidente que engolfa completamente um conjunto pequeno de alvos, a seção de choque de espalhamento é dada por: