Considere um projétil pontual movendo-se em um campo de força esférico e fixo, cuja energia potencial é
onde é uma constante positiva. Este, chamado de poço esférico, representa um projétil que se move livremente em alguma das regiões e , mas, quando ele cruza a fronteira , recebe um impulso para dentro radialmente que modifica sua energia cinética por ( , para dentro, , para fora). (e) Integrando sobre todas as direções, determine a seção de choque total.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um projétil que se move num campo de força esférico, chamado de poço esférico. A energia potencial é definida de duas formas:
Isso significa que dentro do raio , a energia potencial é e fora dela é zero. Quando o projétil cruza a fronteira , sua energia cinética muda em dependendo da direção. Queremos determinar a seção de choque total, integrando a seção de choque diferencial sobre todas as direções possíveis.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica clássica como seção de choque, impacto parâmetro, e como a energia muda afeta o desvio do projétil.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é seção de choque total. A seção de choque total é uma medida efetiva da “área” que representa a probabilidade de interação entre partículas. Ela é dada pela integral da seção de choque diferencial sobre todos os ângulos sólidos :
Aqui, representa a seção de choque por unidade de ângulo sólido .

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a seção de choque diferencial com o parâmetro de impacto e o ângulo de desvio . Em colisões centrífugas, a relação geral é:
Isso significa que a seção de choque diferencial depende de como o parâmetro de impacto muda com o ângulo de desvio.

Passo 4

Vamos agora analisar como o parâmetro de impacto está relacionado com . Quando o projétil passa pela região , sua energia cinética muda. Suponha que inicialmente a energia cinética seja . Ao cruzar , se for para dentro, a energia cinética se torna ; se for para fora, .
Essa mudança na energia afeta a velocidade do projétil, o que por sua vez influencia o ângulo de desvio . A relação entre e pode ser derivada considerando a conservação do momento angular e a mudança na velocidade devido ao impulso de energia.

Passo 5

Para simplificar, assumimos que a única alteração é na velocidade radial devido à mudança de energia. A relação entre e pode ser expressa como:
Isso vem da geometria da colisão e como o desvio angular está relacionado com o parâmetro de impacto.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a :
Substituindo isso na expressão da seção de choque diferencial:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, integramos sobre todo o espaço angular para encontrar a seção de choque total :
Resolvendo essa integral, que envolve técnicas de integração trigonométrica, obtemos:

Resposta

A seção de choque total é .

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