As coordenadas retangulares de um ponto são dadas por e suas coordenadas polares são . Determine (b) o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem as coordenadas de um ponto tanto no sistema retangular (ou cartesiano) quanto no polar. Especificamente, no sistema retangular, o ponto é , e no polar é . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de . Para isso, vamos precisar usar as relações que conectam as coordenadas retangulares com as polares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter coordenadas polares para retangulares. As fórmulas que ligam esses sistemas são:
Onde são as coordenadas retangulares, é a distância do ponto à origem, e é o ângulo em relação ao eixo positivo dos .

Passo 3

No nosso caso, sabemos que e . Vamos usar a primeira fórmula para encontrar . Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o valor de . Sabemos que:
Então, substituindo esse valor na equação:

Passo 5

Para encontrar , vamos isolar essa variável. Multiplicamos ambos os lados da equação por :

Passo 6

Finalmente, para resolver para , dividimos ambos os lados por :
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

O valor de é .

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