As coordenadas retangulares de um ponto são dadas por
e suas coordenadas polares são
. Determine (b) o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem as coordenadas de um ponto tanto no sistema retangular (ou cartesiano) quanto no polar. Especificamente, no sistema retangular, o ponto é
, e no polar é
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
. Para isso, vamos precisar usar as relações que conectam as coordenadas retangulares com as polares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como converter coordenadas polares para retangulares. As fórmulas que ligam esses sistemas são:
Onde
são as coordenadas retangulares,
é a distância do ponto à origem, e
é o ângulo em relação ao eixo positivo dos
.
Passo 3
No nosso caso, sabemos que
e
. Vamos usar a primeira fórmula para encontrar
. Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o valor de
. Sabemos que:
Então, substituindo esse valor na equação:
Passo 5
Para encontrar
, vamos isolar essa variável. Multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Passo 6
Finalmente, para resolver para
, dividimos ambos os lados por
:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
O valor de
é
.