(a) Uma haste fina uniforme de massa
e comprimento
está sobre o eixo
com uma extremidade na origem. Determine o momento de inércia da haste em rotação em torno do eixo
. [Aqui, o somatório em (10.25) deve ser substituído por uma integral da forma
, onde
é a densidade linear de massa, massa/comprimento.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema sobre momento de inércia! A questão fala de uma haste fina e uniforme com massa
e comprimento
que está sobre o eixo
, com uma extremidade na origem. Precisamos encontrar o momento de inércia dessa haste quando ela gira em torno do eixo
. Para isso, vamos usar a fórmula do momento de inércia que envolve uma integral, onde precisamos conhecer a densidade linear de massa da haste.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a densidade linear de massa, que é a massa por unidade de comprimento. Chamamos essa densidade de
. Como a haste é uniforme, a densidade é constante ao longo dela.
Passo 3
Agora, vamos escrever a expressão para o momento de inércia (
) da haste em relação ao eixo
. O momento de inércia é dado pela integral de
vezes a densidade linear de massa
ao longo do comprimento da haste.
Passo 4
Substituímos
pela expressão que encontramos no passo 2:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
A integral de
de 0 a
é:
Então, substituindo de volta:
Resposta
O momento de inércia da haste em torno do eixo
é: