(a) Uma haste fina uniforme de massa e comprimento está sobre o eixo com uma extremidade na origem. Determine o momento de inércia da haste em rotação em torno do eixo . [Aqui, o somatório em (10.25) deve ser substituído por uma integral da forma , onde é a densidade linear de massa, massa/comprimento.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema sobre momento de inércia! A questão fala de uma haste fina e uniforme com massa e comprimento que está sobre o eixo , com uma extremidade na origem. Precisamos encontrar o momento de inércia dessa haste quando ela gira em torno do eixo . Para isso, vamos usar a fórmula do momento de inércia que envolve uma integral, onde precisamos conhecer a densidade linear de massa da haste.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a densidade linear de massa, que é a massa por unidade de comprimento. Chamamos essa densidade de . Como a haste é uniforme, a densidade é constante ao longo dela.

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão para o momento de inércia ( ) da haste em relação ao eixo . O momento de inércia é dado pela integral de vezes a densidade linear de massa ao longo do comprimento da haste.

Passo 4

Substituímos pela expressão que encontramos no passo 2:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
A integral de de 0 a é:
Então, substituindo de volta:

Resposta

O momento de inércia da haste em torno do eixo é:

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