Suponha que você tenha encontrado três eixos principais independentes (direções
) e os correspondentes eixos principais
de um corpo rígido, cujo tensor momento de inércia (não diagonal) você também calculou. (Você pode assumir, o que é bem fácil de ser demonstrado, que todas as grandezas são reais.) (b) Use o resultado do item (a) para mostrar que, se os três momentos principais são todos distintos, então as direções dos três eixos principais são determinadas univocamente.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos um corpo rígido com um tensor de momento de inércia que não é diagonal. Encontramos os três eixos principais
e os seus momentos principais correspondentes
. Queremos mostrar que, se esses três momentos principais forem todos diferentes entre si, as direções desses eixos principais são únicas, ou seja, não podem ser de outra forma.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são tensor de momento de inércia, eixos principais e momentos principais, além de saber como a diagonalização do tensor nos ajuda a determinar esses eixos.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o tensor de momento de inércia é uma matriz que representa como a massa de um corpo está distribuída em relação a diferentes eixos de rotação. Este tensor pode ser representado de forma não diagonal em um sistema de coordenadas qualquer. Porém, existem direções específicas (eixos principais) onde esse tensor se torna diagonal. Esses eixos principais são representados por vetores unitários
, e os valores diagonais correspondem aos momentos principais
.
Passo 3
O resultado do item (a) indica que, ao diagonalizar o tensor de momento de inércia, obtemos uma matriz diagonal cujos elementos são os momentos principais
, e os vetores que formam a base desse novo sistema de coordenadas são os eixos principais
. Essa diagonalização é uma transformação que alinha os eixos do sistema com as direções onde o tensor é diagonal.
Passo 4
Agora, se os três momentos principais
são todos diferentes, isso significa que cada eixo principal está associado a um valor único de momento de inércia. Se tentássemos rodar o sistema de coordenadas ao redor de um desses eixos, isso mudaria a orientação dos outros eixos e, consequentemente, os valores dos momentos principais, quebrando a diagonalização do tensor.
Passo 5
Portanto, a condição de que todos os três momentos principais são distintos garante que não há rotações livres possíveis que mantenham o tensor diagonal. Isso implica que os eixos principais
estão fixos e são únicos na orientação espacial. Assim, as direções desses eixos são determinadas de forma única pelo tensor de momento de inércia.
Resposta
Se os três momentos principais são distintos, as direções dos três eixos principais são determinadas univocamente.