Determine o tensor de inércia para um cone oco fino e uniforme, como um cone de sorvete, de massa
, altura
e base de raio
, girando em torno do seu vértice.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar o tensor de inércia de um cone oco e fino, tipo aqueles cones de sorvete, que tem massa
, altura
e raio da base
. O cone está girando em torno do seu vértice. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre como a massa se distribui em objetos que giram, ou seja, o tensor de inércia. Vamos precisar entender como calcular momentos de inércia para objetos com simetria, como cones.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o tensor de inércia é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Para um cone simétrico, isso simplifica bastante. Como o cone é girado em torno do vértice, vamos considerar que o eixo de rotação é o eixo
.
Passo 3
Vamos assumir que o cone é um cono de revolução, ou seja, um cone circular reto. Isso significa que a base do cone é um círculo perfeito e que o eixo
passa pelo vértice e pelo centro da base. Com essa simetria, sabemos que os momentos de inércia em torno dos eixos
e
serão iguais, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os elementos do tensor de inércia. Para um cone oco e fino, a massa está distribuída na superfície lateral. A fórmula do momento de inércia para um cone oco girando em torno do vértice (eixo
) é diferente da de um cone maciço.
Passo 5
O momento de inércia em torno do eixo
(
) para o cone oco é dado por:
Esse valor vem do fato de que toda a massa está distribuída a uma distância igual ao raio
do eixo de rotação.
Passo 6
Já os momentos de inércia em torno dos eixos
e
(
e
) para o cone oco são iguais e calculados pela fórmula:
Essa relação leva em conta que a massa está distribuída de forma simétrica em relação ao eixo
.
Passo 7
Com isso, podemos montar o tensor de inércia, que é uma matriz 3x3 onde os elementos fora da diagonal são zero devido à simetria do problema:
Resposta
O tensor de inércia para o cone oco fino e uniforme girando em torno do seu vértice é: