Uma haste fina (de largura zero, mas não necessariamente uniforme) está pivotada livremente em uma extremidade em torno do eixo horizontal
e livre para oscilar no plano
(
horizontal e
vertical para baixo). Sua massa é
, seu CM está a uma distância
a partir do ponto de pivotamento e seu momento de inércia (em torno do eixo
) é
. (b) Qual é o comprimento do pêndulo simples “equivalente”, isto é, o pêndulo simples com o mesmo período?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma haste fina que pode oscilar livremente em torno de um ponto de pivô. Sabemos a massa da haste (
), a distância do centro de massa até o ponto de pivô (
) e o momento de inércia em relação ao eixo
(
). Queremos descobrir qual é o comprimento de um pêndulo simples que teria o mesmo período de oscilação que essa haste.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pêndulos físicos e pêndulos simples na física, especificamente as fórmulas que relacionam o período de oscilação com as propriedades físicas de cada tipo de pêndulo.
Passo 2
Vamos começar lembrando a fórmula do período de um pêndulo físico. O período (
) é o tempo que a haste leva para completar uma oscilação completa. A fórmula para o período de um pêndulo físico é:
Aqui:
-
é o momento de inércia da haste em relação ao eixo de pivô. -
é a massa da haste. -
é a aceleração da gravidade. -
é a distância do centro de massa até o ponto de pivô.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula do período de um pêndulo simples, que é o pêndulo idealizado com uma massa pontual na extremidade de uma haste leve. A fórmula para o período de um pêndulo simples é:
Aqui:
-
é o comprimento do pêndulo simples. -
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Queremos que o período do pêndulo físico seja igual ao período do pêndulo simples. Portanto, vamos igualar as duas expressões:
Podemos cancelar o
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
Observamos que o
aparece em ambos os lados da equação e pode ser cancelado:
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar o comprimento do pêndulo simples equivalente:
Resposta
O comprimento do pêndulo simples equivalente é dado por
.