Uma haste fina (de largura zero, mas não necessariamente uniforme) está pivotada livremente em uma extremidade em torno do eixo horizontal e livre para oscilar no plano ( horizontal e vertical para baixo). Sua massa é , seu CM está a uma distância a partir do ponto de pivotamento e seu momento de inércia (em torno do eixo ) é . (b) Qual é o comprimento do pêndulo simples “equivalente”, isto é, o pêndulo simples com o mesmo período?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma haste fina que pode oscilar livremente em torno de um ponto de pivô. Sabemos a massa da haste ( ), a distância do centro de massa até o ponto de pivô ( ) e o momento de inércia em relação ao eixo ( ). Queremos descobrir qual é o comprimento de um pêndulo simples que teria o mesmo período de oscilação que essa haste.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pêndulos físicos e pêndulos simples na física, especificamente as fórmulas que relacionam o período de oscilação com as propriedades físicas de cada tipo de pêndulo.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula do período de um pêndulo físico. O período ( ) é o tempo que a haste leva para completar uma oscilação completa. A fórmula para o período de um pêndulo físico é:
í
Aqui:
  • é o momento de inércia da haste em relação ao eixo de pivô.
  • é a massa da haste.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é a distância do centro de massa até o ponto de pivô.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula do período de um pêndulo simples, que é o pêndulo idealizado com uma massa pontual na extremidade de uma haste leve. A fórmula para o período de um pêndulo simples é:
Aqui:
  • é o comprimento do pêndulo simples.
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Queremos que o período do pêndulo físico seja igual ao período do pêndulo simples. Portanto, vamos igualar as duas expressões:
Podemos cancelar o de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
Observamos que o aparece em ambos os lados da equação e pode ser cancelado:

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar o comprimento do pêndulo simples equivalente:

Resposta

O comprimento do pêndulo simples equivalente é dado por .

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