Um corpo rígido consiste em três massas presas nos pontos: e . (b) Determine os momentos principais e um conjunto de eixos principais ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo rígido formado por três massas em posições específicas no espaço. A tarefa é encontrar os momentos principais e um conjunto de eixos principais que são ortogonais entre si. Para isso, vamos precisar entender sobre o tensor de inércia, calcular esse tensor para as massas dadas e então encontrar seus valores próprios (que são os momentos principais) e os vetores próprios (que nos dão os eixos principais).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um corpo está distribuída em relação aos eixos de rotação. Para três dimensões, o tensor de inércia é uma matriz 3x3 definida por:
Onde cada elemento é calculado baseado nas coordenadas das massas.

Passo 3

Vamos calcular cada elemento do tensor de inércia. Para cada massa, usamos as seguintes fórmulas:
Vamos calcular para cada uma das três massas:
  1. Massa em :
    • , ,
  2. Massa em :
    • , ,
  3. Massa em :
    • , ,

Passo 4

Vamos calcular cada componente do tensor de inércia:
Agora, para os termos fora da diagonal:

Passo 5

Com isso, o tensor de inércia fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os momentos principais, que são os valores próprios do tensor de inércia, resolvendo o determinante , onde são os valores próprios e é a matriz identidade.
Calculando o determinante:
Calculando o determinante da submatriz:
Então, a equação característica fica:
Resolvendo :
Portanto:

Passo 7

Os momentos principais são , e .
Agora, para encontrar os eixos principais, precisamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvendo :

[


]
Isso implica que é livre e . Então, o vetor próprio é .
Para :
Resolvendo :

[


]
Da primeira equação, implica .
Da segunda e terceira equações, temos:
Então, o vetor próprio pode ser . Normalizando:
Para :
Resolvendo :

[


]
Da primeira equação, implica .
Da segunda e terceira equações, temos:
Então, o vetor próprio pode ser . Normalizando:

Resposta

Os momentos principais são , e . Os eixos principais ortogonais são as direções dos vetores próprios:

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