Uma estação espacial estacionária pode ser aproximada como uma casca esférica oca de massa 6 toneladas e raio interno 5 m e externo 6 m . Para mudar sua orientação, um volante uniforme (raio 10 cm , massa 10 kg ) no centro é girado rapidamente a partir do repouso a 1.000 rpm . (b) Que energia é necessária para toda a operação? [Para determinar o momento de inércia necessário, você pode resolver o Problema 10.11.]

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que o exercício está pedindo. Temos uma estação espacial que pode ser pensada como uma casca esférica oca com massa de 6.000 kg e raios de 5 m (interno) e 6 m (externo). No centro dessa estação, tem um volante (uma roda giratória) com raio de 10 cm e massa de 10 kg. Esse volante é girado rapidamente a partir do repouso até 1.000 rotações por minuto (rpm).
O que precisamos descobrir é quanta energia é necessária para realizar toda essa operação de girar o volante. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre energia cinética rotacional e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é energia cinética rotacional. Quando algo gira, ele possui energia devido ao seu movimento de rotação, que é chamada de energia cinética rotacional. A fórmula para calcular essa energia é:
Onde:
  • é a energia cinética rotacional,
  • é o momento de inércia do objeto,
  • é a velocidade angular em radianos por segundo.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o momento de inércia ( ) do volante. O momento de inércia depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um volante uniforme (um disco sólido), a fórmula é:
Onde:
  • é a massa do volante,
  • é o raio do volante.
Dado que a massa kg e o raio m (10 cm), substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

O próximo passo é converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque a fórmula da energia usa em rad/s. A conversão é feita assim:
Portanto, para 1.000 rpm:

Passo 5

Agora que temos o momento de inércia e a velocidade angular, podemos calcular a energia necessária usando a fórmula da energia cinética rotacional:
Calculando:

Resposta

A energia necessária para toda a operação é de aproximadamente 274,13 joules.

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