Suponha que você tenha encontrado três eixos principais independentes (direções ) e os correspondentes eixos principais de um corpo rígido, cujo tensor momento de inércia (não diagonal) você também calculou. (Você pode assumir, o que é bem fácil de ser demonstrado, que todas as grandezas são reais.) © Mostre que, se dois dos momentos principais são iguais, digamos , então qualquer direção no plano de e é também um eixo principal como o mesmo momento principal. Em outras palavras, quando , os eixos principais correspondentes não são determinados de forma unívoca.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo rígido com três eixos principais independentes, , e , e os momentos principais correspondentes , e . Queremos mostrar que, se dois desses momentos principais forem iguais, por exemplo, , então qualquer direção no plano formado por e também será um eixo principal com o mesmo momento principal. Isso significa que quando , os eixos principais não são únicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um tensor momento de inércia. É uma matriz que descreve como a massa de um corpo está distribuída em relação a um eixo de rotação. Os eixos principais são as direções em que esse tensor é diagonal, ou seja, não há termos de acoplamento entre diferentes direções. Os valores na diagonal são os momentos principais de inércia, , e .

Passo 3

Quando temos três eixos principais independentes, significa que cada eixo principal está associado a um momento principal distinto. Porém, se dois desses momentos principais são iguais, como , isso introduz uma simetria no sistema. Essa simetria permite que existam infinitely muitas combinações de eixos que ainda mantêm a diagonalização do tensor momento de inércia.

Passo 4

Para provar isso, consideremos uma rotação no plano formado por e . Vamos definir um novo eixo principal que faz um ângulo com . Esse novo eixo será uma combinação linear de e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação a esse novo eixo . A fórmula geral para o momento de inércia em uma direção qualquer é:
Como assumimos que , substituindo na expressão temos:
Isso mostra que o momento de inércia é igual a para qualquer valor de .

Passo 6

Portanto, qualquer direção no plano de e definida por um ângulo resulta em um eixo principal com o mesmo momento de inércia . Como o ângulo pode variar continuamente de a , existem infinitas direções possíveis no plano que satisfazem essa condição.

Resposta

Concluímos que, quando dois momentos principais são iguais, , qualquer direção no plano formado por e é um eixo principal com o mesmo momento principal. Assim, os eixos principais não são determinados de forma única nesse caso.

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