Suponha que você tenha encontrado três eixos principais independentes (direções
) e os correspondentes eixos principais
de um corpo rígido, cujo tensor momento de inércia (não diagonal) você também calculou. (Você pode assumir, o que é bem fácil de ser demonstrado, que todas as grandezas são reais.) © Mostre que, se dois dos momentos principais são iguais, digamos
, então qualquer direção no plano de
e
é também um eixo principal como o mesmo momento principal. Em outras palavras, quando
, os eixos principais correspondentes não são determinados de forma unívoca.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo rígido com três eixos principais independentes,
,
e
, e os momentos principais correspondentes
,
e
. Queremos mostrar que, se dois desses momentos principais forem iguais, por exemplo,
, então qualquer direção no plano formado por
e
também será um eixo principal com o mesmo momento principal. Isso significa que quando
, os eixos principais não são únicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um tensor momento de inércia. É uma matriz que descreve como a massa de um corpo está distribuída em relação a um eixo de rotação. Os eixos principais são as direções em que esse tensor é diagonal, ou seja, não há termos de acoplamento entre diferentes direções. Os valores na diagonal são os momentos principais de inércia,
,
e
.
Passo 3
Quando temos três eixos principais independentes, significa que cada eixo principal está associado a um momento principal distinto. Porém, se dois desses momentos principais são iguais, como
, isso introduz uma simetria no sistema. Essa simetria permite que existam infinitely muitas combinações de eixos que ainda mantêm a diagonalização do tensor momento de inércia.
Passo 4
Para provar isso, consideremos uma rotação no plano formado por
e
. Vamos definir um novo eixo principal
que faz um ângulo
com
. Esse novo eixo será uma combinação linear de
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação a esse novo eixo
. A fórmula geral para o momento de inércia em uma direção qualquer é:
Como assumimos que
, substituindo na expressão temos:
Isso mostra que o momento de inércia
é igual a
para qualquer valor de
.
Passo 6
Portanto, qualquer direção no plano de
e
definida por um ângulo
resulta em um eixo principal com o mesmo momento de inércia
. Como o ângulo
pode variar continuamente de
a
, existem infinitas direções possíveis no plano que satisfazem essa condição.
Resposta
Concluímos que, quando dois momentos principais são iguais,
, qualquer direção no plano formado por
e
é um eixo principal com o mesmo momento principal. Assim, os eixos principais não são determinados de forma única nesse caso.