Um hemisfério sólido e uniforme de raio
tem a sua base plana no plano
, com seu centro na origem. Use o resultado do Problema 10.4 para determinar o centro de massa. [Comente: este e os dois próximos problemas são planejados para reativar suas habilidades em determinar centros de massa por integração. Em todos os casos, você precisará usar a forma da integral definida em (10.1) para o CM. Se a massa estiver distribuída em um volume (como aqui), a integral será uma integral de volume com
.]
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um hemisfério sólido e uniforme com raio
, posicionado de modo que sua base esteja no plano
e o centro na origem. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse hemisfério usando integração. Para isso, vamos precisar entender como calcular o centro de massa de um objeto tridimensional uniforme e usar coordenadas esféricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na simetria do hemisfério. Como ele é perfeitamente simétrico em relação ao eixo
, o centro de massa vai estar alinhado com esse eixo. Portanto, as coordenadas
e
do centro de massa serão zero. Só precisamos descobrir a coordenada
.
Passo 3
A fórmula para a coordenada
do centro de massa (
) é:
Como o hemisfério é uniforme, a densidade (
) é constante. Assim, podemos simplificar a expressão para:
Onde
é um elemento de volume e
é o volume total do hemisfério.
Passo 4
Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é dado por:
Como estamos lidando com um hemisfério, o raio
vai de 0 até
, o ângulo polar
vai de 0 até
(já que é apenas a metade superior), e o ângulo azimutal
vai de 0 a
.
Passo 5
Na coordenada
em esféricas, temos:
Substituindo na fórmula do centro de massa:
Passo 6
Vamos calcular o volume total
do hemisfério primeiro:
Integrando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o numerador da expressão do centro de massa:
Simplificando:
Calculando cada integral:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos os valores no cálculo do centro de massa:
Resposta
O centro de massa do hemisfério sólido está localizado na coordenada
.