Um hemisfério sólido e uniforme de raio tem a sua base plana no plano , com seu centro na origem. Use o resultado do Problema 10.4 para determinar o centro de massa. [Comente: este e os dois próximos problemas são planejados para reativar suas habilidades em determinar centros de massa por integração. Em todos os casos, você precisará usar a forma da integral definida em (10.1) para o CM. Se a massa estiver distribuída em um volume (como aqui), a integral será uma integral de volume com .]

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um hemisfério sólido e uniforme com raio , posicionado de modo que sua base esteja no plano e o centro na origem. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse hemisfério usando integração. Para isso, vamos precisar entender como calcular o centro de massa de um objeto tridimensional uniforme e usar coordenadas esféricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na simetria do hemisfério. Como ele é perfeitamente simétrico em relação ao eixo , o centro de massa vai estar alinhado com esse eixo. Portanto, as coordenadas e do centro de massa serão zero. Só precisamos descobrir a coordenada .

Passo 3

A fórmula para a coordenada do centro de massa ( ) é:
Como o hemisfério é uniforme, a densidade ( ) é constante. Assim, podemos simplificar a expressão para:
Onde é um elemento de volume e é o volume total do hemisfério.

Passo 4

Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é dado por:
Como estamos lidando com um hemisfério, o raio vai de 0 até , o ângulo polar vai de 0 até (já que é apenas a metade superior), e o ângulo azimutal vai de 0 a .

Passo 5

Na coordenada em esféricas, temos:
Substituindo na fórmula do centro de massa:

Passo 6

Vamos calcular o volume total do hemisfério primeiro:
Integrando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o numerador da expressão do centro de massa:
Simplificando:
Calculando cada integral:
Então:

Passo 8

Agora, substituímos os valores no cálculo do centro de massa:

Resposta

O centro de massa do hemisfério sólido está localizado na coordenada .

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