A definição do tensor de inércia nas Equações (10.37) e (10.38) tem uma característica um tanto desagradável de que os elementos da diagonal principal e os elementos fora dela estão definidos por meio de equações completamente diferentes. Mostre que as duas definições podem ser combinadas em uma única equação (que é um pouco menos confusa na forma integral)
onde é o símbolo do delta de Kronecker

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas definições para os elementos do tensor de inércia:
  1. Elementos da diagonal principal ( ): Esses elementos são definidos por uma equação específica.
  2. Elementos fora da diagonal ( com ): Esses elementos têm uma definição diferente.
A matéria envolvida aqui é a mecânica clássica, especificamente o estudo do tensor de inércia, que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos seus eixos de rotação. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é o tensor de inércia e como a notação do delta de Kronecker ( ) funciona.

Passo 2

Vamos começar relembrando a definição do tensor de inércia fornecida na questão:
onde:
  • é a densidade de massa,
  • é a distância do ponto ao eixo de rotação,
  • é o símbolo de Kronecker, que vale 1 quando e 0 quando ,
  • e são as componentes das coordenadas espaciais.

Passo 3

Vamos analisar separadamente os casos em que e usando a definição acima.
Caso 1: (elementos da diagonal principal)
Substituindo na equação, temos . Então:
Esse é o enunciado específico para os elementos da diagonal principal.
Caso 2: (elementos fora da diagonal)
Aqui, . Então:
Esse é o enunciado específico para os elementos fora da diagonal.

Passo 4

Agora, observamos que a definição geral do tensor de inércia já abrange ambos os casos ( e ). A expressão:
serve para calcular todos os elementos do tensor de inércia de uma só vez, sem a necessidade de definições separadas para diagonal e off-diagonal. Isso simplifica a expressão integral e evita a confusão de ter duas equações diferentes.

Passo 5

Portanto, mostramos que combinando as definições específicas para os elementos diagonais e não diagonais em uma única equação integral, conseguimos expressar o tensor de inércia de forma mais elegante e menos confusa. A chave foi utilizar o delta de Kronecker para distinguir entre os casos onde e dentro de uma única fórmula.

Resposta

Assim, combinamos as definições separadas dos elementos do tensor de inércia em uma única equação integral:

Exercícios de Livros Relacionados