A definição do tensor de inércia nas Equações (10.37) e (10.38) tem uma característica um tanto desagradável de que os elementos da diagonal principal e os elementos fora dela estão definidos por meio de equações completamente diferentes. Mostre que as duas definições podem ser combinadas em uma única equação (que é um pouco menos confusa na forma integral)
onde
é o símbolo do delta de Kronecker
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas definições para os elementos do tensor de inércia:
- Elementos da diagonal principal (
): Esses elementos são definidos por uma equação específica. - Elementos fora da diagonal (
com ): Esses elementos têm uma definição diferente.
A matéria envolvida aqui é a mecânica clássica, especificamente o estudo do tensor de inércia, que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos seus eixos de rotação. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é o tensor de inércia e como a notação do delta de Kronecker (
) funciona.
Passo 2
Vamos começar relembrando a definição do tensor de inércia fornecida na questão:
onde:
-
é a densidade de massa, -
é a distância do ponto ao eixo de rotação, -
é o símbolo de Kronecker, que vale 1 quando e 0 quando , -
e são as componentes das coordenadas espaciais.
Passo 3
Vamos analisar separadamente os casos em que
e
usando a definição acima.
Caso 1:
(elementos da diagonal principal)
Substituindo
na equação, temos
. Então:
Esse é o enunciado específico para os elementos da diagonal principal.
Caso 2:
(elementos fora da diagonal)
Aqui,
. Então:
Esse é o enunciado específico para os elementos fora da diagonal.
Passo 4
Agora, observamos que a definição geral do tensor de inércia já abrange ambos os casos (
e
). A expressão:
serve para calcular todos os elementos do tensor de inércia de uma só vez, sem a necessidade de definições separadas para diagonal e off-diagonal. Isso simplifica a expressão integral e evita a confusão de ter duas equações diferentes.
Passo 5
Portanto, mostramos que combinando as definições específicas para os elementos diagonais e não diagonais em uma única equação integral, conseguimos expressar o tensor de inércia de forma mais elegante e menos confusa. A chave foi utilizar o delta de Kronecker para distinguir entre os casos onde
e
dentro de uma única fórmula.
Resposta
Assim, combinamos as definições separadas dos elementos do tensor de inércia em uma única equação integral: