Na Seção 1.5, mostramos que a terceira lei de Newton implica a conservação do momento. Mostre o contrário, que, se a lei da conservação do momento se aplica para todos os grupos de partículas, então as forças interpartículas devem obedecer à terceira lei. [Sugestão: embora seu sistema contenha muitas partículas, você pode dirigir sua atenção sobre apenas duas delas. (Denomine-as 1 e 2.) A lei de conservação do momento diz que, se não há forças externas sobre este par de partículas, então o momento total delas deve ser constante. Use isso para mostrar que
.]
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o enunciado pede pra mostrar que se a conservação do momento se aplica para todos os grupos de partículas, então as forças entre as partículas obedecem à terceira lei de Newton. Basicamente, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente conservação de momento e as leis de Newton. Precisaremos entender como o momento é conservado e como as forças agem entre pares de partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento. O momento linear de uma partícula é dado por:
onde
é a massa e
é a velocidade. A conservação do momento diz que, se não há forças externas agindo no sistema, o momento total permanece constante.
Passo 3
Vamos considerar apenas duas partículas no sistema, chamadas de 1 e 2. Segundo a conservação do momento, a soma dos momentos dessas duas partículas não muda com o tempo, já que estamos supondo que não há forças externas.
Passo 4
Matematicamente, isso significa que:
Aqui,
e
representam as taxas de variação do momento das partículas 1 e 2, respectivamente.
Passo 5
Segundo a segunda lei de Newton, a taxa de variação do momento de uma partícula é igual à força resultante que age sobre ela:
Como não há forças externas,
.
Passo 6
Substituindo na equação da conservação do momento:
Isso quer dizer que as forças que as partículas exercem uma sobre a outra se somam a zero.
Passo 7
Rearranjando a equação, temos:
Isso mostra que a força que a partícula 1 exerce sobre a 2 é igual em magnitude e oposta em direção à força que a partícula 2 exerce sobre a 1.
Resposta
Portanto, se a conservação do momento se aplica para todos os grupos de partículas, as forças interpartículas obedecem à terceira lei de Newton, ou seja,
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