Você deita uma caixa retangular sobre um piso horizontal e em seguida inclina-a sobre uma das arestas até que esta forme um ângulo
com a horizontal. Escolha a origem em um dos dois vértices que está em contato com o piso, o eixo
apontando ao longo da aresta da caixa que está em contato com o piso, o eixo y apontando para cima na direção da inclinação e o eixo
normal à caixa. Agora, você chuta um objeto sem atrito que está em repouso em
de modo que ele navega sobre a caixa com velocidade inicial (
). Escreva a segunda lei de Newton usando as coordenadas dadas e, em seguida, determine quanto tempo o objeto leva para retornar ao nível do piso e qual a distância que ele está de
quando retorna.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa retangular que está sendo inclinada sobre uma de suas arestas, formando um ângulo
com o chão. A origem do nosso sistema de coordenadas está em um dos vértices que toca o chão. O eixo
vai ao longo da aresta que está no chão, o eixo
aponta para cima na direção da inclinação e o eixo
é normal à caixa. Você chuta um objeto que estava parado em
com uma velocidade inicial
, sem atrito. Precisamos:
- Escrever a segunda lei de Newton nas coordenadas dadas.
- Determinar o tempo que o objeto leva para voltar ao nível do chão.
- Calcular a distância de
onde o objeto retorna ao chão.
Vamos precisar usar conceitos de movimento projetil e decomposição de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton. A segunda lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
No nosso caso, como não há atrito e estamos considerando apenas movimento no plano inclinado, as forças que atuam no objeto são a gravidade.
Passo 3
Vamos decompor a força da gravidade nos eixos do nosso sistema de coordenadas. A aceleração devido à gravidade é
. Precisamos projetar essa aceleração nos eixos
e
.
A componente na direção
(ao longo do plano inclinado) é:
E a componente na direção
(perpendicular ao plano inclinado) é:
Como não há movimento nesse eixo (o objeto não está saindo do plano), a aceleração
é balanceada pelas forças normais, então podemos focar no movimento ao longo do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos escrever as equações de movimento para as direções
e
.
Para o eixo
:
Simplificando, temos:
Para o eixo
:
Como o objeto não acelera na direção , a aceleração é zero:
Como o objeto não acelera na direção
Passo 5
Vamos focar no movimento ao longo do eixo
. A equação da velocidade neste eixo é:
E a posição ao longo do eixo
é:
Passo 6
Para determinar o tempo que o objeto leva para retornar ao nível do chão, precisamos analisar o movimento vertical. Inicialmente, o objeto está no nível do chão, sobe e depois desce de volta.
Vamos considerar a altura atingida pelo objeto. A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical é zero. Usando a equação:
Igualando a zero:
Este é o tempo para atingir a altura máxima. O tempo total para subir e descer será o dobro disso:
Passo 7
Agora, vamos calcular a distância que o objeto está de
quando retorna ao chão. Usaremos a equação da posição no eixo
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
O objeto leva um tempo de
segundos para retornar ao nível do chão e está a uma distância de
metros de
quando retorna.