Você deita uma caixa retangular sobre um piso horizontal e em seguida inclina-a sobre uma das arestas até que esta forme um ângulo com a horizontal. Escolha a origem em um dos dois vértices que está em contato com o piso, o eixo apontando ao longo da aresta da caixa que está em contato com o piso, o eixo y apontando para cima na direção da inclinação e o eixo normal à caixa. Agora, você chuta um objeto sem atrito que está em repouso em de modo que ele navega sobre a caixa com velocidade inicial ( ). Escreva a segunda lei de Newton usando as coordenadas dadas e, em seguida, determine quanto tempo o objeto leva para retornar ao nível do piso e qual a distância que ele está de quando retorna.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa retangular que está sendo inclinada sobre uma de suas arestas, formando um ângulo com o chão. A origem do nosso sistema de coordenadas está em um dos vértices que toca o chão. O eixo vai ao longo da aresta que está no chão, o eixo aponta para cima na direção da inclinação e o eixo é normal à caixa. Você chuta um objeto que estava parado em com uma velocidade inicial , sem atrito. Precisamos:
  1. Escrever a segunda lei de Newton nas coordenadas dadas.
  2. Determinar o tempo que o objeto leva para voltar ao nível do chão.
  3. Calcular a distância de onde o objeto retorna ao chão.
Vamos precisar usar conceitos de movimento projetil e decomposição de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton. A segunda lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
No nosso caso, como não há atrito e estamos considerando apenas movimento no plano inclinado, as forças que atuam no objeto são a gravidade.

Passo 3

Vamos decompor a força da gravidade nos eixos do nosso sistema de coordenadas. A aceleração devido à gravidade é . Precisamos projetar essa aceleração nos eixos e .
A componente na direção (ao longo do plano inclinado) é:
E a componente na direção (perpendicular ao plano inclinado) é:
Como não há movimento nesse eixo (o objeto não está saindo do plano), a aceleração é balanceada pelas forças normais, então podemos focar no movimento ao longo do eixo .

Passo 4

Agora, vamos escrever as equações de movimento para as direções e .
Para o eixo :
Simplificando, temos:
Para o eixo :
Como o objeto não acelera na direção , a aceleração é zero:

Passo 5

Vamos focar no movimento ao longo do eixo . A equação da velocidade neste eixo é:
E a posição ao longo do eixo é:

Passo 6

Para determinar o tempo que o objeto leva para retornar ao nível do chão, precisamos analisar o movimento vertical. Inicialmente, o objeto está no nível do chão, sobe e depois desce de volta.
Vamos considerar a altura atingida pelo objeto. A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical é zero. Usando a equação:
Igualando a zero:
Este é o tempo para atingir a altura máxima. O tempo total para subir e descer será o dobro disso:

Passo 7

Agora, vamos calcular a distância que o objeto está de quando retorna ao chão. Usaremos a equação da posição no eixo :
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

O objeto leva um tempo de segundos para retornar ao nível do chão e está a uma distância de metros de quando retorna.

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