Uma massa confinada ao eixo
tem energia potencial
, com
. Use (4.58) para determinar o tempo para a massa alcançar o seu deslocamento máximo
. Forneça sua resposta como uma integral sobre
termos de
,
e
. Em seguida, determine o período
de oscilação de amplitude
como uma integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem uma massa que só pode se mover no eixo
e a energia potencial dela é dada por
, onde
. O que a gente precisa fazer é usar a equação que provavelmente está no seu material de estudo (a tal da equação 4.58) para encontrar o tempo que a massa leva para chegar no seu deslocamento máximo, que é
. Também vamos calcular o período de oscilação
dessa massa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e integrais envolvendo
(massa),
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a energia total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. Quando a massa está no deslocamento máximo
, toda a energia está na forma de potencial, já que a velocidade (e, portanto, a energia cinética) é zero. Então, a energia total
é igual a
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a velocidade da massa com a energia. A energia cinética
é dada por
. Como a energia total
é constante, podemos escrever:
Por isso, a velocidade
pode ser expressa como:
Passo 4
Para encontrar o tempo que a massa leva para ir de
até
, vamos integrar a expressão da velocidade. Sabemos que
, então rearranjando:
Integrando isso de
a
, temos o tempo
:
Passo 5
Agora, para encontrar o período
da oscilação completa, que é o tempo para ir de
a
e voltar para
(ou seja, uma oscilação completa), basta multiplicar o tempo encontrado por 2:
Resposta
O tempo para a massa alcançar o deslocamento máximo
é dado por:
E o período de oscilação
de amplitude
é: