Uma massa confinada ao eixo tem energia potencial , com . Use (4.58) para determinar o tempo para a massa alcançar o seu deslocamento máximo á. Forneça sua resposta como uma integral sobre termos de , e . Em seguida, determine o período de oscilação de amplitude como uma integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem uma massa que só pode se mover no eixo e a energia potencial dela é dada por , onde . O que a gente precisa fazer é usar a equação que provavelmente está no seu material de estudo (a tal da equação 4.58) para encontrar o tempo que a massa leva para chegar no seu deslocamento máximo, que é á. Também vamos calcular o período de oscilação dessa massa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e integrais envolvendo (massa), e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a energia total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. Quando a massa está no deslocamento máximo , toda a energia está na forma de potencial, já que a velocidade (e, portanto, a energia cinética) é zero. Então, a energia total é igual a .

Passo 3

Agora, vamos relacionar a velocidade da massa com a energia. A energia cinética é dada por . Como a energia total é constante, podemos escrever:
Por isso, a velocidade pode ser expressa como:

Passo 4

Para encontrar o tempo que a massa leva para ir de até , vamos integrar a expressão da velocidade. Sabemos que , então rearranjando:
Integrando isso de a , temos o tempo :

Passo 5

Agora, para encontrar o período da oscilação completa, que é o tempo para ir de a e voltar para (ou seja, uma oscilação completa), basta multiplicar o tempo encontrado por 2:

Resposta

O tempo para a massa alcançar o deslocamento máximo é dado por:
E o período de oscilação de amplitude é:

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