Demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o Laplaciano de
é igual a
vezes a função delta de Dirac em
. Estamos trabalhando com cálculo vetorial e distribuições (como a delta de Dirac). Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é o Laplaciano, a função
e a função delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. O Laplaciano de uma função escalar
em coordenadas esféricas é dado por:
Isso simplifica bastante as coisas quando a função
depende só da distância
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Laplaciano na função
. Primeiro, calculemos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos por
:
Agora, derivamos isso em relação a
:
Passo 5
Então, substituindo de volta na expressão do Laplaciano:
Até aqui, vimos que o Laplaciano de
fora da origem é zero. Mas e na origem?
Passo 6
Na verdade, a função
tem uma singularidade na origem (
). Para levar isso em conta, usamos a noção de distribuições (como a delta de Dirac). A função delta de Dirac
é uma espécie de “função” que é zero em todos os lugares, exceto na origem, onde é infinita de forma que sua integral sobre todo o espaço seja 1.
Passo 7
Portanto, combinando o que vimos fora da origem com o comportamento na origem, concluímos que:
Resposta
Concluímos que o Laplaciano de
é igual a
vezes a função delta de Dirac em
. Ou seja,