Demonstre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o Laplaciano de é igual a vezes a função delta de Dirac em . Estamos trabalhando com cálculo vetorial e distribuições (como a delta de Dirac). Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é o Laplaciano, a função e a função delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. O Laplaciano de uma função escalar em coordenadas esféricas é dado por:
Isso simplifica bastante as coisas quando a função depende só da distância .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Laplaciano na função . Primeiro, calculemos a derivada de em relação a :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos por :
Agora, derivamos isso em relação a :

Passo 5

Então, substituindo de volta na expressão do Laplaciano:
Até aqui, vimos que o Laplaciano de fora da origem é zero. Mas e na origem?

Passo 6

Na verdade, a função tem uma singularidade na origem ( ). Para levar isso em conta, usamos a noção de distribuições (como a delta de Dirac). A função delta de Dirac é uma espécie de “função” que é zero em todos os lugares, exceto na origem, onde é infinita de forma que sua integral sobre todo o espaço seja 1.

Passo 7

Portanto, combinando o que vimos fora da origem com o comportamento na origem, concluímos que:

Resposta

Concluímos que o Laplaciano de é igual a vezes a função delta de Dirac em . Ou seja,

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