O potencial médio temporal de um átomo de hidrogênio neutro é dado por:
onde q é a grandeza da carga eletrônica e
, sendo
o raio de Bohr. Determine a distribuição de carga, quer discreta, quer contínua, que produz esse potencial e interprete fisicamente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá o potencial médio temporal de um átomo de hidrogênio neutro e pede para descobrir qual distribuição de carga, tanto discreta quanto contínua, gera esse potencial. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre potencial elétrico e distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o potencial elétrico
está relacionado à distribuição de carga
através da equação de Poisson:
Isso significa que se conhecemos
, podemos encontrar
calculando o Laplaciano de
.
Passo 3
Vamos calcular o Laplaciano de
. Para uma distribuição esfericamente simétrica, o Laplaciano em coordenadas esféricas fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
:
Calculando
:
Simplificando as derivadas, obtemos:
Após simplificar, percebemos que os termos com
cancelam, ficando:
Passo 5
Agora, multiplicamos por
:
Em seguida, derivamos isso em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a equação de Poisson:
Igualando a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Essa expressão para
indica que a distribuição de carga contínua é negativa e decai exponencialmente com o aumento de
. Além disso, há um termo linear em
que sugere uma modulação na densidade de carga com a distância.
Para a distribuição discreta, podemos considerar cargas pontuais nos quais a densidade de carga se concentra em valores específicos de
, possivelmente no núcleo do átomo e no elétron.
Passo 8
Fisicamente, essa distribuição de carga indica que a carga negativa (dos elétrons) está distribuída ao redor do núcleo de forma que diminui exponencialmente com a distância, refletindo a probabilidade de encontrar o elétron em diferentes posições. A presença do termo
modula essa distribuição, indicando que há uma densidade de carga que não apenas decai, mas também tem uma dependência linear com
, o que pode estar relacionado às oscilações do elétron em torno do núcleo no estado fundamental do hidrogênio.
Resposta
A distribuição de carga que produz o potencial dado é uma distribuição contínua com densidade
indicando que a carga negativa está distribuída esfericamente ao redor do núcleo com decaimento exponencial e modulação linear em
. Além disso, existe uma componente discreta correspondente à carga positiva no núcleo. Fisicamente, isso representa a distribuição do elétron em torno do próton no átomo de hidrogênio, onde a densidade de probabilidade de encontrar o elétron diminui com a distância do núcleo.