O potencial médio temporal de um átomo de hidrogênio neutro é dado por:
onde q é a grandeza da carga eletrônica e , sendo o raio de Bohr. Determine a distribuição de carga, quer discreta, quer contínua, que produz esse potencial e interprete fisicamente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá o potencial médio temporal de um átomo de hidrogênio neutro e pede para descobrir qual distribuição de carga, tanto discreta quanto contínua, gera esse potencial. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre potencial elétrico e distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o potencial elétrico está relacionado à distribuição de carga através da equação de Poisson:
Isso significa que se conhecemos , podemos encontrar calculando o Laplaciano de .

Passo 3

Vamos calcular o Laplaciano de . Para uma distribuição esfericamente simétrica, o Laplaciano em coordenadas esféricas fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de :
Calculando :
Simplificando as derivadas, obtemos:
Após simplificar, percebemos que os termos com cancelam, ficando:

Passo 5

Agora, multiplicamos por :
Em seguida, derivamos isso em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos a equação de Poisson:
Igualando a :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Essa expressão para indica que a distribuição de carga contínua é negativa e decai exponencialmente com o aumento de . Além disso, há um termo linear em que sugere uma modulação na densidade de carga com a distância.
Para a distribuição discreta, podemos considerar cargas pontuais nos quais a densidade de carga se concentra em valores específicos de , possivelmente no núcleo do átomo e no elétron.

Passo 8

Fisicamente, essa distribuição de carga indica que a carga negativa (dos elétrons) está distribuída ao redor do núcleo de forma que diminui exponencialmente com a distância, refletindo a probabilidade de encontrar o elétron em diferentes posições. A presença do termo modula essa distribuição, indicando que há uma densidade de carga que não apenas decai, mas também tem uma dependência linear com , o que pode estar relacionado às oscilações do elétron em torno do núcleo no estado fundamental do hidrogênio.

Resposta

A distribuição de carga que produz o potencial dado é uma distribuição contínua com densidade
indicando que a carga negativa está distribuída esfericamente ao redor do núcleo com decaimento exponencial e modulação linear em . Além disso, existe uma componente discreta correspondente à carga positiva no núcleo. Fisicamente, isso representa a distribuição do elétron em torno do próton no átomo de hidrogênio, onde a densidade de probabilidade de encontrar o elétron diminui com a distância do núcleo.

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