Demonstre que:
e)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos demonstrar que a operação de vetor cruz entre e o produto tensorial de e é igual ao produto tensorial do resultado do vetor cruz entre e com . Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades do produto tensorial ( ) e do produto vetorial ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto tensorial. O produto tensorial de dois vetores e é uma operação que resulta em um tensor (ou matriz) que representa todas as combinações dos componentes de e . Matematicamente, se e são vetores em , então:

Passo 3

Agora, vamos revisar o produto vetorial (ou cruz) entre dois vetores. O produto vetorial de e resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. Matematicamente:

Passo 4

Sabendo disso, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos demonstrar:
Aqui, estamos aplicando o produto vetorial entre o vetor e o tensor . Isso significa que devemos aplicar o produto vetorial de com cada coluna do tensor resultante.

Passo 5

Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, obtenha o tensor :
Agora, aplicamos o produto vetorial com em cada coluna:

Passo 6

Calculando cada componente:
Usando as propriedades do produto vetorial com os vetores unitários, sabemos que:

Passo 7

Substituindo de volta:
Distribuindo :

Passo 8

Agrupando os termos:

Passo 9

Simplificando:

Passo 10

Observamos que este resultado é exatamente o tensor produto entre e . Sabemos que:
Multiplicando cada componente por :
Ao comparar com o resultado obtido anteriormente, fica claro que:

Resposta

Demonstramos que , conforme solicitado.

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