Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos demonstrar que a operação de vetor cruz entre e o produto tensorial de e é igual ao produto tensorial do resultado do vetor cruz entre e com . Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades do produto tensorial () e do produto vetorial ().
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto tensorial. O produto tensorial de dois vetores e é uma operação que resulta em um tensor (ou matriz) que representa todas as combinações dos componentes de e . Matematicamente, se e são vetores em , então:
Passo 3
Agora, vamos revisar o produto vetorial (ou cruz) entre dois vetores. O produto vetorial de e resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. Matematicamente:
Passo 4
Sabendo disso, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos demonstrar:
Aqui, estamos aplicando o produto vetorial entre o vetor e o tensor . Isso significa que devemos aplicar o produto vetorial de com cada coluna do tensor resultante.
Passo 5
Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, obtenha o tensor :
Agora, aplicamos o produto vetorial com em cada coluna:
Passo 6
Calculando cada componente:
Usando as propriedades do produto vetorial com os vetores unitários, sabemos que:
Passo 7
Substituindo de volta:
Distribuindo :
Passo 8
Agrupando os termos:
Passo 9
Simplificando:
Passo 10
Observamos que este resultado é exatamente o tensor produto entre e . Sabemos que:
Multiplicando cada componente por :
Ao comparar com o resultado obtido anteriormente, fica claro que:
Resposta
Demonstramos que , conforme solicitado.
Física - J. M. F. Bassalo - Eletrodinâmica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 1.Problemas Propostos - Ex. P.1.5e