Demonstre que
deve exceder o valor mínimo de
para cada solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual é o equivalente clássico para essa afirmação? Dica: reescreva a Equação 2.5 na forma de
se
, então
e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal; demonstre que tal função não pode ser normalizada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente mostre que a energia
de uma partícula deve ser maior que o valor mínimo da função potencial
para que a solução da equação de Schrödinger independente do tempo seja normalizável. Isso significa que a função de onda
precisa ter uma integral finita sobre todo o espaço. Vamos precisar usar a forma reescrita da equação de Schrödinger que foi dada na dica:
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece se a energia
for menor que o valor mínimo da potencial
. Se
, então
será sempre positivo, porque
nunca será menor que
. Isso significa que o lado direito da equação fica positivo:
Passo 3
Agora, vamos pensar no comportamento da função
. Se
for positiva, a segunda derivada
também será positiva. Isso indica que a função
está sempre “curvando para cima”. Da mesma forma, se
for negativa, a segunda derivada também será negativa, ou seja, a função está “curvando para baixo”. Em ambos os casos,
e
têm sempre o mesmo sinal.
Passo 4
Se a função
e sua segunda derivada têm sempre o mesmo sinal, isso significa que
não pode retornar ao zero ou interceptar o eixo horizontal, o que é necessário para que seja uma função normalizável. Uma função normalizável precisa se “acumular” em torno de um ponto, caindo para zero conforme
vai para mais ou menos infinito. Mas se
está sempre curvando para cima ou para baixo, ela vai crescer indefinidamente ou decair de forma que não pode ser normalizada.
Passo 5
Portanto, concluímos que se
, não conseguimos uma solução normalizável para a equação de Schrödinger. Logo, a energia
deve ser sempre maior ou igual ao valor mínimo de
para que exista uma solução física válida.
Como equivalente clássico, isso significa que, na mecânica clássica, uma partícula só pode ter movimento se sua energia total for maior ou igual à energia potencial mínima do sistema. Caso contrário, ela não teria energia suficiente para “subir” a barreira potencial.
Resposta
A energia
deve ser maior ou igual ao valor mínimo de
para que exista uma solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Classicamente, isso equivale a dizer que uma partícula só pode se mover se sua energia total for suficiente para superar a energia potencial mínima do sistema.