Uma partícula de massa no poço quadrado infinito (de largura ) está na metade esquerda do poço e tem (em ) probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto daquela região.
(b) Qual é a probabilidade de que a medição de energia produza o valor

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa confinada em um poço quadrado infinito com largura . Inicialmente, a partícula está na metade esquerda do poço, e em ela tem igual probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto dessa região. O que queremos saber agora é qual a probabilidade de, ao medir a energia dessa partícula, obtermos o valor . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções de onda e de superposição de estados no contexto de mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um poço quadrado infinito, as funções de onda estacionárias (ou estados próprios) são dadas por:
onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …) que representa o nível de energia.

Passo 3

A energia associada a cada estado é:
Portanto, o valor de energia corresponde ao primeiro nível de energia, ou seja, .

Passo 4

A probabilidade de medir uma determinada energia é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente de projeção do estado inicial sobre o estado próprio . Matemáticamente, isso é:
onde é a função de onda inicial.

Passo 5

No nosso caso, a função de onda inicial é uma função constante na metade esquerda do poço, já que a partícula tem igual probabilidade de estar em qualquer ponto dessa região. Então,
onde é a função indicadora que vale 1 para e 0 caso contrário.

Passo 6

Agora, calculamos o coeficiente de projeção para :

Passo 7

Vamos resolver a integral:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do coeficiente:

Passo 9

Agora, calculamos a probabilidade:

Resposta

A probabilidade de medir a energia é , aproximadamente 0,405.

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