Uma partícula de massa no poço quadrado infinito (de largura ) está na metade esquerda do poço e tem (em ) probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto daquela região.
(b) Qual é a probabilidade de que a medição de energia produza o valor
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa confinada em um poço quadrado infinito com largura . Inicialmente, a partícula está na metade esquerda do poço, e em ela tem igual probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto dessa região. O que queremos saber agora é qual a probabilidade de, ao medir a energia dessa partícula, obtermos o valor . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções de onda e de superposição de estados no contexto de mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um poço quadrado infinito, as funções de onda estacionárias (ou estados próprios) são dadas por:
onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …) que representa o nível de energia.
Passo 3
A energia associada a cada estado é:
Portanto, o valor de energia corresponde ao primeiro nível de energia, ou seja, .
Passo 4
A probabilidade de medir uma determinada energia é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente de projeção do estado inicial sobre o estado próprio . Matemáticamente, isso é:
onde é a função de onda inicial.
Passo 5
No nosso caso, a função de onda inicial é uma função constante na metade esquerda do poço, já que a partícula tem igual probabilidade de estar em qualquer ponto dessa região. Então,
onde é a função indicadora que vale 1 para e 0 caso contrário.
Passo 6
Agora, calculamos o coeficiente de projeção para :
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão do coeficiente:
Passo 9
Agora, calculamos a probabilidade:
Resposta
A probabilidade de medir a energia é , aproximadamente 0,405.
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 2.2 - Ex. Problema 2.8b