Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
© Qual a probabilidade de que a medição de energia produza o valor
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que está confinada em um poço quadrado infinito, ou seja, ela só pode estar dentro de um intervalo de 0 a
. A função de onda inicial
é dada de forma diferente para duas partes desse intervalo. O conteúdo que vamos usar aqui é a mecânica quântica, especificamente a parte que trata da quantização de energia em poços de potencial. Para resolver isso, precisamos conhecer as funções próprias de energia do poço quadrado infinito e como calcular a probabilidade de encontrar a partícula em um determinado estado de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um poço quadrado infinito, as funções próprias de energia (ou estados estacionários) são dadas por:
onde
E os valores de energia correspondentes são:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida e
é a massa da partícula.
Passo 3
A probabilidade de medir a energia
é igual ao quadrado do coeficiente de projeção da função de onda inicial
sobre o estado próprio
. Ou seja:
onde
Passo 4
No nosso caso, queremos a probabilidade de encontrar a energia
, então precisamos calcular
:
Sabemos que
é uma função por partes, então vamos dividir a integral conforme o enunciado:
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Usando integração por partes, encontramos que ambas as integrais resultam em:
E similar para a segunda integral.
Passo 7
Após calcular as integrais e substituir os limites, obtemos o valor de
. Para simplificar, assumimos que a função está normalizada, ou seja,
é escolhido tal que:
Após os cálculos, descobrimos que
.
Passo 8
Finalmente, calculando
com
e substituindo na expressão da probabilidade:
Resposta
A probabilidade de que a medição de energia produza o valor
é
, ou seja, aproximadamente 40,5%.