Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
© Qual a probabilidade de que a medição de energia produza o valor ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que está confinada em um poço quadrado infinito, ou seja, ela só pode estar dentro de um intervalo de 0 a . A função de onda inicial é dada de forma diferente para duas partes desse intervalo. O conteúdo que vamos usar aqui é a mecânica quântica, especificamente a parte que trata da quantização de energia em poços de potencial. Para resolver isso, precisamos conhecer as funções próprias de energia do poço quadrado infinito e como calcular a probabilidade de encontrar a partícula em um determinado estado de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um poço quadrado infinito, as funções próprias de energia (ou estados estacionários) são dadas por:
onde
E os valores de energia correspondentes são:
Aqui, é a constante de Planck reduzida e é a massa da partícula.

Passo 3

A probabilidade de medir a energia é igual ao quadrado do coeficiente de projeção da função de onda inicial sobre o estado próprio . Ou seja:
onde

Passo 4

No nosso caso, queremos a probabilidade de encontrar a energia , então precisamos calcular :
Sabemos que é uma função por partes, então vamos dividir a integral conforme o enunciado:

Passo 5

Substituindo e na integral, temos:

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Usando integração por partes, encontramos que ambas as integrais resultam em:
E similar para a segunda integral.

Passo 7

Após calcular as integrais e substituir os limites, obtemos o valor de . Para simplificar, assumimos que a função está normalizada, ou seja, é escolhido tal que:
Após os cálculos, descobrimos que .

Passo 8

Finalmente, calculando com e substituindo na expressão da probabilidade:

Resposta

A probabilidade de que a medição de energia produza o valor é , ou seja, aproximadamente 40,5%.

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