Demonstre que deve exceder o valor mínimo de para cada solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual é o equivalente clássico para essa afirmação? Dica: reescreva a Equação 2.5 na forma de
se , então e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal; demonstre que tal função não pode ser normalizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a energia de uma solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo precisa ser maior que o valor mínimo do potencial . Estamos lidando com mecânica quântica, especificamente com a equação de Schrödinger. Para resolver, vamos precisar manipular a equação diferencial dada e entender o que significa uma função ser normalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de Schrödinger na forma sugerida:
Aqui, é a função de onda, é a massa da partícula, é a constante de Planck reduzida, é o potencial, e é a energia.

Passo 3

Agora, vamos supor que , onde é o valor mínimo do potencial . Isso significa que será sempre positivo, já que o menor valor de já é maior que .

Passo 4

Com , a equação fica:
Isso implica que a segunda derivada de tem o mesmo sinal que em todos os pontos.

Passo 5

Se e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal, a função não pode oscilar. Ou seja, ela vai sempre ser convexa ou côncava, o que leva a tender ao infinito quando vai para .

Passo 6

Para uma função ser normalizável, ela precisa ser finita em todo o espaço e integrável, ou seja, a integral de sobre todo o espaço deve ser finita. Mas se tende ao infinito, essa integral não será finita.

Passo 7

Portanto, se , a função não pode ser normalizada, ou seja, não representa um estado físico válido.

Resposta

Assim, provamos que deve ser maior que o valor mínimo de para que exista uma solução normalizável da equação de Schrödinger. O equivalente clássico dessa afirmação é que, em mecânica clássica, uma partícula precisa ter energia suficiente para superar o mínimo do potencial e se movimentar dentro das regiões permitidas.

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