Demonstre que
deve exceder o valor mínimo de
para cada solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual é o equivalente clássico para essa afirmação? Dica: reescreva a Equação 2.5 na forma de
se
, então
e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal; demonstre que tal função não pode ser normalizada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a energia
de uma solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo precisa ser maior que o valor mínimo do potencial
. Estamos lidando com mecânica quântica, especificamente com a equação de Schrödinger. Para resolver, vamos precisar manipular a equação diferencial dada e entender o que significa uma função ser normalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de Schrödinger na forma sugerida:
Aqui,
é a função de onda,
é a massa da partícula,
é a constante de Planck reduzida,
é o potencial, e
é a energia.
Passo 3
Agora, vamos supor que
, onde
é o valor mínimo do potencial
. Isso significa que
será sempre positivo, já que o menor valor de
já é maior que
.
Passo 4
Com
, a equação fica:
Isso implica que a segunda derivada de
tem o mesmo sinal que
em todos os pontos.
Passo 5
Se
e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal, a função
não pode oscilar. Ou seja, ela vai sempre ser convexa ou côncava, o que leva a
tender ao infinito quando
vai para
.
Passo 6
Para uma função ser normalizável, ela precisa ser finita em todo o espaço e integrável, ou seja, a integral de
sobre todo o espaço deve ser finita. Mas se
tende ao infinito, essa integral não será finita.
Passo 7
Portanto, se
, a função
não pode ser normalizada, ou seja, não representa um estado físico válido.
Resposta
Assim, provamos que
deve ser maior que o valor mínimo de
para que exista uma solução normalizável da equação de Schrödinger. O equivalente clássico dessa afirmação é que, em mecânica clássica, uma partícula precisa ter energia suficiente para superar o mínimo do potencial e se movimentar dentro das regiões permitidas.