Demonstre que
deve exceder o valor mínimo de
para cada solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual é o equivalente clássico para essa afirmação? Dica: reescreva a Equação 2.5 na forma de
se
, então
e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal; demonstre que tal função não pode ser normalizada.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que a energia
deve ser maior que o valor mínimo do potencial
para que exista uma solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. O conteúdo aqui envolve a equação de Schrödinger e conceitos de funções normalizáveis. Para resolver, vamos precisar manipular a equação fornecida e usar propriedades de funções matemáticas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de Schrödinger conforme a dica:
Aqui,
é a função de onda,
é a massa da partícula, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Suponha que
, onde
é o valor mínimo de
. Então,
para todo
. Isso implica que a segunda derivada de
tem o mesmo sinal que
.
Passo 4
Se
e sua segunda derivada têm o mesmo sinal, isso significa que a concavidade da função
é sempre para cima ou para baixo, dependendo do sinal de
. Em outras palavras,
não pode oscilar ou ter pontos de inflexão que permitam que ela se “apague” em algum lugar.
Passo 5
Para uma função ser normalizável, ela precisa tender a zero quando
tende ao infinito, ou seja,
deve desaparecer nas fronteiras. No entanto, se
tem sempre a mesma concavidade, ela não pode atingir esse comportamento de desaparecimento, pois continuaria crescendo ou decrescendo sem limites. Portanto, não existe uma função
normalizável se
.
Passo 6
O equivalente clássico para essa afirmação é que, em mecânica clássica, uma partícula com energia
menor que o mínimo do potencial
não pode se mover, pois não tem energia suficiente para superar qualquer barreira potencial. Assim, ela ficaria “presa” em um ponto, similar à impossibilidade de obter uma solução normalizável na mecânica quântica.
Resposta
Portanto, demonstramos que para existir uma solução normalizável da equação de Schrödinger, a energia
deve exceder o valor mínimo do potencial
. O equivalente clássico dessa afirmação é que uma partícula com energia menor que o mínimo do potencial não pode se mover.