Demonstre que deve exceder o valor mínimo de para cada solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual é o equivalente clássico para essa afirmação? Dica: reescreva a Equação 2.5 na forma de
se , então e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal; demonstre que tal função não pode ser normalizada.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que a energia deve ser maior que o valor mínimo do potencial para que exista uma solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. O conteúdo aqui envolve a equação de Schrödinger e conceitos de funções normalizáveis. Para resolver, vamos precisar manipular a equação fornecida e usar propriedades de funções matemáticas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de Schrödinger conforme a dica:
Aqui, é a função de onda, é a massa da partícula, e é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Suponha que , onde é o valor mínimo de . Então, para todo . Isso implica que a segunda derivada de tem o mesmo sinal que .

Passo 4

Se e sua segunda derivada têm o mesmo sinal, isso significa que a concavidade da função é sempre para cima ou para baixo, dependendo do sinal de . Em outras palavras, não pode oscilar ou ter pontos de inflexão que permitam que ela se “apague” em algum lugar.

Passo 5

Para uma função ser normalizável, ela precisa tender a zero quando tende ao infinito, ou seja, deve desaparecer nas fronteiras. No entanto, se tem sempre a mesma concavidade, ela não pode atingir esse comportamento de desaparecimento, pois continuaria crescendo ou decrescendo sem limites. Portanto, não existe uma função normalizável se .

Passo 6

O equivalente clássico para essa afirmação é que, em mecânica clássica, uma partícula com energia menor que o mínimo do potencial não pode se mover, pois não tem energia suficiente para superar qualquer barreira potencial. Assim, ela ficaria “presa” em um ponto, similar à impossibilidade de obter uma solução normalizável na mecânica quântica.

Resposta

Portanto, demonstramos que para existir uma solução normalizável da equação de Schrödinger, a energia deve exceder o valor mínimo do potencial . O equivalente clássico dessa afirmação é que uma partícula com energia menor que o mínimo do potencial não pode se mover.

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