Demonstre que a fórmula da dispersão da luz, expressão (2.4.0.4a,b), para o caso em que o elétron está sob a ação de uma força restauradora do tipo: , onde g é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar a fórmula da dispersão da luz, especificamente a expressão (2.4.0.4a,b), quando o elétron está sob a ação de uma força restauradora do tipo , onde é uma constante. Isso está relacionado ao estudo da interação da luz com partículas, algo que aparece em física de ondas e eletromagnetismo. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico e como uma carga elétrica responde a campos eletromagnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa força restauradora. A força indica que a força é proporcional à velocidade do elétron e atua na direção oposta. Isso lembra um tipo de resistência ou força viscosa que tenta parar o movimento do elétron.
Para resolver o problema, precisamos determinar como essa força influencia a oscilação do elétron quando ele é exposto a um campo elétrico da luz, e então encontrar a relação que descreve a dispersão da luz.

Passo 3

Vamos começar descrevendo o movimento do elétron sob a ação do campo elétrico. A equação de movimento para o elétron é dada por:
Aqui, é a massa do elétron, é a carga, é o campo elétrico da luz, e é a força restauradora.
Assumindo que o elétron oscila harmonicamente, podemos escrever a solução para o deslocamento como uma função senoidal:
Onde é a frequência da luz. Substituindo essa expressão na equação de movimento, teremos uma relação entre a força restauradora e a oscilação do elétron.

Passo 4

Substituindo na equação de movimento:
Simplificando, cancelamos de ambos os lados:
Rearranjando os termos:

Passo 5

Agora, isolamos :
Para simplificar isso, podemos fatorar :

Passo 6

Sabemos que a força restauradora afeta a resposta do elétron ao campo elétrico. A relação acima nos dá a amplitude da oscilação do elétron. Para encontrar a radiação emitida pelo elétron, usamos a fórmula da radiação acelerada, que está relacionada com a posição do elétron.
A potência radiada é proporcional ao quadrado da aceleração, que neste caso envolve . Portanto, a intensidade da radiação dispersa dependerá de .

Passo 7

Calculando :
Isso simplifica para:

Passo 8

A intensidade da luz dispersa está relacionada à aceleração do elétron, que é , então temos:

Passo 9

Finalmente, a fórmula da dispersão da luz considerando a força restauradora dada fica:

Resposta

A fórmula da dispersão da luz para um elétron sob a ação da força restauradora é:

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