Duas superfícies condutoras, cilíndricas, longas e coaxiais, de raios a e b, são mergulhadas verticalmente num dielétrico líquido. Se o líquido se eleva de uma altura h entre essas duas superfícies (eletrodos) quando há uma diferença de potencial
entre elas, demonstre que a suscetibilidade elétrica
do líquido vale:
onde
é a densidade do líquido dielétrico e g é a aceleração da gravidade. Despreze a suscetibilidade elétrica do ar atmosférico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve duas superfícies condutoras cilíndricas, uma menor com raio
e a outra maior com raio
, ambas mergulhadas num líquido dielétrico. Quando aplicamos uma diferença de potencial
entre elas, o líquido sobe uma altura
entre esses cilindros. Nosso objetivo aqui é mostrar que a suscetibilidade elétrica
do líquido é dada pela fórmula:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico entre cilindros coaxiais e o equilíbrio entre a força elétrica e a pressão causada pelo líquido.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o campo elétrico
entre os dois cilindros coaxiais. Para cilindros longos e coaxiais, o campo elétrico entre eles pode ser calculado usando a Lei de Gauss. A expressão para o campo elétrico a uma distância
do eixo é:
Aqui,
é a diferença de potencial entre os cilindros, e
é o logaritmo natural da razão entre os raios dos cilindros.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia armazenada no campo elétrico do dielétrico entre os cilindros. A energia por unidade de volume
em um meio dielétrico é dada por:
Onde
é a permissividade elétrica do meio. A susceptibilidade elétrica
está relacionada à permissividade por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
A pressão elétrica
exercida pelo campo elétrico sobre o líquido é igual à energia por unidade de volume:
Substituindo
:
Passo 5
Por outro lado, a pressão hidrostática
causada pela coluna de líquido de altura
é dada por:
Onde
é a densidade do líquido e
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
No equilíbrio, a pressão elétrica iguala a pressão hidrostática:
Substituindo
:
Considerando que estamos interessados na média do campo entre os cilindros, podemos integrar ao longo do raio e simplificar.
Passo 7
Após simplificações matemáticas e rearranjos, isolamos
na equação:
Resposta
A suscetibilidade elétrica do líquido é dada por: