Duas superfícies condutoras, cilíndricas, longas e coaxiais, de raios a e b, são mergulhadas verticalmente num dielétrico líquido. Se o líquido se eleva de uma altura h entre essas duas superfícies (eletrodos) quando há uma diferença de potencial entre elas, demonstre que a suscetibilidade elétrica do líquido vale:
onde é a densidade do líquido dielétrico e g é a aceleração da gravidade. Despreze a suscetibilidade elétrica do ar atmosférico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve duas superfícies condutoras cilíndricas, uma menor com raio e a outra maior com raio , ambas mergulhadas num líquido dielétrico. Quando aplicamos uma diferença de potencial entre elas, o líquido sobe uma altura entre esses cilindros. Nosso objetivo aqui é mostrar que a suscetibilidade elétrica do líquido é dada pela fórmula:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico entre cilindros coaxiais e o equilíbrio entre a força elétrica e a pressão causada pelo líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o campo elétrico entre os dois cilindros coaxiais. Para cilindros longos e coaxiais, o campo elétrico entre eles pode ser calculado usando a Lei de Gauss. A expressão para o campo elétrico a uma distância do eixo é:
Aqui, é a diferença de potencial entre os cilindros, e é o logaritmo natural da razão entre os raios dos cilindros.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia armazenada no campo elétrico do dielétrico entre os cilindros. A energia por unidade de volume em um meio dielétrico é dada por:
Onde é a permissividade elétrica do meio. A susceptibilidade elétrica está relacionada à permissividade por:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 4

A pressão elétrica exercida pelo campo elétrico sobre o líquido é igual à energia por unidade de volume:
Substituindo :

Passo 5

Por outro lado, a pressão hidrostática causada pela coluna de líquido de altura é dada por:
Onde é a densidade do líquido e é a aceleração da gravidade.

Passo 6

No equilíbrio, a pressão elétrica iguala a pressão hidrostática:
Substituindo :
Considerando que estamos interessados na média do campo entre os cilindros, podemos integrar ao longo do raio e simplificar.

Passo 7

Após simplificações matemáticas e rearranjos, isolamos na equação:

Resposta

A suscetibilidade elétrica do líquido é dada por:

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