Um meio de constante dielétrica constante K encontra-se em uma região onde existe um campo eletrostático
. Demonstre que o campo eletrostático
no interior de uma cavidade esférica feita nesse meio, vale:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um meio com constante dielétrica
e está nesse meio que existe um campo eletrostático
. A missão é mostrar que o campo eletrostático
dentro de uma cavidade esférica feita nesse meio é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre dielétricos, polarização e como os campos elétricos se comportam em materiais com constantes dielétricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é constante dielétrica
. Ela mede o quanto um material pode ser polarizado por um campo elétrico externo, ou seja, quanto o material pode reduzir o campo elétrico dentro dele. Quanto maior o
, mais o material reduz o campo interno.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre polarização. Quando um campo elétrico
está presente no material dielétrico, as moléculas do material se alinham de forma que suas cargas positivas e negativas ficam separadas, criando o que chamamos de dipolos elétricos. Essa separação cria um campo elétrico interno que se opõe ao campo externo.
Passo 4
Quando criamos uma cavidade esférica no meio dielétrico, a polarização do material ao redor da cavidade gera cargas de superfície induzidas na cavidade. Essas cargas afetam o campo elétrico dentro da cavidade. Nosso objetivo é encontrar esse campo
dentro da cavidade.
Passo 5
Para resolver isso, usamos a lei de Gauss para dielétricos. A lei de Gauss nos diz que a divergência do campo elétrico
dentro da cavidade está relacionada à densidade de carga livre, que nesse caso é zero. Porém, a presença das cargas induzidas na superfície da cavidade modifica o campo interno.
Passo 6
A relação entre o campo externo
e o campo interno
pode ser obtida considerando a polarização do meio e a geometria esférica da cavidade. Pelo princípio da superposição e simetria esférica, chegamos à expressão:
Resposta
Portanto, demonstramos que o campo eletrostático
no interior da cavidade esférica é igual a
.