Um meio de constante dielétrica constante K encontra-se em uma região onde existe um campo eletrostático . Demonstre que o campo eletrostático no interior de uma cavidade esférica feita nesse meio, vale:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um meio com constante dielétrica e está nesse meio que existe um campo eletrostático . A missão é mostrar que o campo eletrostático dentro de uma cavidade esférica feita nesse meio é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre dielétricos, polarização e como os campos elétricos se comportam em materiais com constantes dielétricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é constante dielétrica . Ela mede o quanto um material pode ser polarizado por um campo elétrico externo, ou seja, quanto o material pode reduzir o campo elétrico dentro dele. Quanto maior o , mais o material reduz o campo interno.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre polarização. Quando um campo elétrico está presente no material dielétrico, as moléculas do material se alinham de forma que suas cargas positivas e negativas ficam separadas, criando o que chamamos de dipolos elétricos. Essa separação cria um campo elétrico interno que se opõe ao campo externo.

Passo 4

Quando criamos uma cavidade esférica no meio dielétrico, a polarização do material ao redor da cavidade gera cargas de superfície induzidas na cavidade. Essas cargas afetam o campo elétrico dentro da cavidade. Nosso objetivo é encontrar esse campo dentro da cavidade.

Passo 5

Para resolver isso, usamos a lei de Gauss para dielétricos. A lei de Gauss nos diz que a divergência do campo elétrico dentro da cavidade está relacionada à densidade de carga livre, que nesse caso é zero. Porém, a presença das cargas induzidas na superfície da cavidade modifica o campo interno.

Passo 6

A relação entre o campo externo e o campo interno pode ser obtida considerando a polarização do meio e a geometria esférica da cavidade. Pelo princípio da superposição e simetria esférica, chegamos à expressão:

Resposta

Portanto, demonstramos que o campo eletrostático no interior da cavidade esférica é igual a .

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