Demonstre a seguinte relação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar uma relação envolvendo integrais de vetores sobre um volume e sua superfície. O enunciado nos dá uma identidade matemática que relaciona o vetor polarização
com as densidades de carga ligada no volume e na superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre polarização e cargas ligadas. Vamos precisar entender como expressar as densidades de carga ligada em termos de
e aplicar o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a densidade de carga ligada no volume (
) está relacionada ao divergente do vetor polarização:
E a densidade de carga ligada na superfície (
) está relacionada ao produto escalar do vetor polarização com o vetor normal à superfície (
):
Essas relações são fundamentais para ligar a polarização às cargas ligadas.
Passo 3
Agora, vamos considerar a integral do vetor polarização
sobre o volume
:
Queremos expressar essa integral em termos de
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação
por
e integrar sobre o volume:
Passo 4
Vamos aplicar o teorema da divergência na integral do lado direito:
Aqui,
é o vetor normal à superfície.
Passo 5
Observando que
é a matriz identidade
, temos:
Então, a equação fica:
Rearranjando os termos:
Passo 6
Substituindo
e
, temos:
Reorganizando os termos:
Resposta
Pronto! Conseguimos demonstrar que: