Demonstre a seguinte relação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar uma relação envolvendo integrais de vetores sobre um volume e sua superfície. O enunciado nos dá uma identidade matemática que relaciona o vetor polarização com as densidades de carga ligada no volume e na superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre polarização e cargas ligadas. Vamos precisar entender como expressar as densidades de carga ligada em termos de e aplicar o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a densidade de carga ligada no volume ( ) está relacionada ao divergente do vetor polarização:
E a densidade de carga ligada na superfície ( ) está relacionada ao produto escalar do vetor polarização com o vetor normal à superfície ( ):
Essas relações são fundamentais para ligar a polarização às cargas ligadas.

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral do vetor polarização sobre o volume :
Queremos expressar essa integral em termos de e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por e integrar sobre o volume:

Passo 4

Vamos aplicar o teorema da divergência na integral do lado direito:
Aqui, é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Observando que é a matriz identidade , temos:
Então, a equação fica:
Rearranjando os termos:

Passo 6

Substituindo e , temos:
Reorganizando os termos:

Resposta

Pronto! Conseguimos demonstrar que:

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