Demonstre que o Hamiltoniano
comuta com os três componentes de
, sendo que
depende somente de
. (De modo que
e
são observáveis mutuamente compatíveis.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica. A questão pede para mostrar que o Hamiltoniano
comuta com as três componentes do momento angular
, dado que o potencial
depende só da distância
. Isso significa que
,
e
são observáveis que podem ser medidas juntas sem interferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa comutar. Dois operadores
e
comutam se
. Se o comutador é zero, eles são compatíveis e podem ter valores medidos simultaneamente.
Passo 3
Vamos começar calculando o comutador
, onde
pode ser
,
ou
. O Hamiltoniano é
, então:
Passo 4
Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro, o comutador
. Sabemos que
(onde
é o símbolo de Levi-Civita). O momento angular
comuta com
pois
comuta com
:
Passo 5
Agora, vamos ver o comutador
. Como
depende apenas de
(a distância), que é invariante sob rotações, temos que
comuta com
:
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores:
Isso mostra que o Hamiltoniano comuta com cada componente do momento angular.
Passo 7
Além disso, sabemos que
também comuta com cada componente de
, e já vimos que comuta com
. Portanto, todos os observáveis
,
e
são mutuamente compatíveis.
Resposta
Portanto, mostramos que
,
e
comutam entre si, ou seja,
. Assim, esses operadores são observáveis mutuamente compatíveis.