Demonstre que o Hamiltoniano comuta com os três componentes de , sendo que depende somente de . (De modo que e são observáveis mutuamente compatíveis.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica. A questão pede para mostrar que o Hamiltoniano comuta com as três componentes do momento angular , dado que o potencial depende só da distância . Isso significa que , e são observáveis que podem ser medidas juntas sem interferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa comutar. Dois operadores e comutam se . Se o comutador é zero, eles são compatíveis e podem ter valores medidos simultaneamente.

Passo 3

Vamos começar calculando o comutador , onde pode ser , ou . O Hamiltoniano é , então:

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro, o comutador . Sabemos que (onde é o símbolo de Levi-Civita). O momento angular comuta com pois comuta com :

Passo 5

Agora, vamos ver o comutador . Como depende apenas de (a distância), que é invariante sob rotações, temos que comuta com :

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores:
Isso mostra que o Hamiltoniano comuta com cada componente do momento angular.

Passo 7

Além disso, sabemos que também comuta com cada componente de , e já vimos que comuta com . Portanto, todos os observáveis , e são mutuamente compatíveis.

Resposta

Portanto, mostramos que , e comutam entre si, ou seja, . Assim, esses operadores são observáveis mutuamente compatíveis.

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