Partindo da definição de multipolo eletrostático em termos dos harmônicos esféricos, demonstre a expansão do potencial eletrostático em função dos três primeiros multipolos: monopolo, dipolo e quadrupolo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente, a partir da definição de multipolo eletrostático usando harmônicos esféricos, demonstrar como o potencial eletrostático pode ser expandido em três partes principais: monopolo, dipolo e quadrupolo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são multipolos, harmônicos esféricos e como eles se relacionam na expansão do potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma expansão em multipolos. No contexto eletrostático, quando queremos descrever o potencial gerado por uma distribuição de cargas, às vezes é bem complicado lidar com a distribuição completa. Por isso, usamos a expansão em multipolos, que aproxima o potencial como uma soma de termos mais simples: monopolo, dipolo, quadrupolo, etc.
Passo 3
Vamos começar com o monopolo. O termo monopolo representa a contribuição da carga total da distribuição para o potencial. Basicamente, é como se toda a carga estivesse concentrada em um único ponto. A expressão do potencial monopolar é:
Onde
é a carga total e
é a distância do ponto onde estamos calculando o potencial até a carga.
Passo 4
Agora, vamos para o dipolo. O dipolo considera não apenas a carga total, mas também como essa carga está distribuída espacialmente, ou seja, o momento dipolar da distribuição de cargas. O momento dipolar
é dado por:
Onde
são as cargas e
são os vetores posição dessas cargas. O potencial dipolar é então:
Aqui,
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 5
Seguimos para o quadrupolo, que leva em conta a segunda ordem de distribuição das cargas, ou seja, como as cargas estão distribuídas de forma mais complexa. O tensor de quadrupolo
é definido por:
O potencial quadrupolar é então dado por:
Passo 6
Finalmente, juntando todos os termos que calculamos, a expansão do potencial eletrostático considerando os três primeiros multipolos fica:
Onde cada termo representa uma ordem de aproximação na distribuição das cargas.
Resposta
Portanto, a expansão do potencial eletrostático em função dos três primeiros multipolos é dada por: