Partindo da definição de multipolo eletrostático em termos dos harmônicos esféricos, demonstre a expansão do potencial eletrostático em função dos três primeiros multipolos: monopolo, dipolo e quadrupolo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente, a partir da definição de multipolo eletrostático usando harmônicos esféricos, demonstrar como o potencial eletrostático pode ser expandido em três partes principais: monopolo, dipolo e quadrupolo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são multipolos, harmônicos esféricos e como eles se relacionam na expansão do potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma expansão em multipolos. No contexto eletrostático, quando queremos descrever o potencial gerado por uma distribuição de cargas, às vezes é bem complicado lidar com a distribuição completa. Por isso, usamos a expansão em multipolos, que aproxima o potencial como uma soma de termos mais simples: monopolo, dipolo, quadrupolo, etc.

Passo 3

Vamos começar com o monopolo. O termo monopolo representa a contribuição da carga total da distribuição para o potencial. Basicamente, é como se toda a carga estivesse concentrada em um único ponto. A expressão do potencial monopolar é:
Onde é a carga total e é a distância do ponto onde estamos calculando o potencial até a carga.

Passo 4

Agora, vamos para o dipolo. O dipolo considera não apenas a carga total, mas também como essa carga está distribuída espacialmente, ou seja, o momento dipolar da distribuição de cargas. O momento dipolar é dado por:
Onde são as cargas e são os vetores posição dessas cargas. O potencial dipolar é então:
Aqui, é o vetor unitário na direção de .

Passo 5

Seguimos para o quadrupolo, que leva em conta a segunda ordem de distribuição das cargas, ou seja, como as cargas estão distribuídas de forma mais complexa. O tensor de quadrupolo é definido por:
O potencial quadrupolar é então dado por:

Passo 6

Finalmente, juntando todos os termos que calculamos, a expansão do potencial eletrostático considerando os três primeiros multipolos fica:
Onde cada termo representa uma ordem de aproximação na distribuição das cargas.

Resposta

Portanto, a expansão do potencial eletrostático em função dos três primeiros multipolos é dada por:

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