Demonstre que a soma de dois operadores hermitianos é também um operador hermitiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a soma de dois operadores hermitianos também é um operador hermitiano. Isso está relacionado à Álgebra Linear e ao estudo de operadores em espaços vetoriais. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é um operador hermitiano e como somá-los mantêm essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador hermitiano. Um operador
é hermitiano se ele é igual ao seu adjunto, ou seja:
Aqui,
representa o adjunto de
, que é a transposta conjugada de
.
Passo 3
Agora, suponha que temos dois operadores hermitianos,
e
. Então, por definição:
Passo 4
Queremos demonstrar que a soma desses dois operadores,
, também é hermitiana. Para isso, vamos calcular o adjunto de
:
Passo 5
Usando a propriedade do adjunto que diz que o adjunto da soma é igual à soma dos adjuntos, temos:
Passo 6
Como sabemos que
e
são hermitianos, substituímos
por
e
por
:
Passo 7
Portanto, obtemos:
Isso mostra que o adjunto de
é igual a
mesmo.
Resposta
Assim, demonstramos que a soma de dois operadores hermitianos
e
resulta em um operador
que também é hermitiano, já que
.