Demonstre que a soma de dois operadores hermitianos é também um operador hermitiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a soma de dois operadores hermitianos também é um operador hermitiano. Isso está relacionado à Álgebra Linear e ao estudo de operadores em espaços vetoriais. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que é um operador hermitiano e como somá-los mantêm essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador hermitiano. Um operador é hermitiano se ele é igual ao seu adjunto, ou seja:
Aqui, representa o adjunto de , que é a transposta conjugada de .

Passo 3

Agora, suponha que temos dois operadores hermitianos, e . Então, por definição:

Passo 4

Queremos demonstrar que a soma desses dois operadores, , também é hermitiana. Para isso, vamos calcular o adjunto de :

Passo 5

Usando a propriedade do adjunto que diz que o adjunto da soma é igual à soma dos adjuntos, temos:

Passo 6

Como sabemos que e são hermitianos, substituímos por e por :

Passo 7

Portanto, obtemos:
Isso mostra que o adjunto de é igual a mesmo.

Resposta

Assim, demonstramos que a soma de dois operadores hermitianos e resulta em um operador que também é hermitiano, já que .

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