Seja uma superfície separando dois meios materiais 1 e 2 . Demonstre que: a)
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para demonstrar que a diferença entre os vetores de deslocamento elétrico nos dois meios, quando projetada na direção da normal da superfície, é igual à densidade de carga livre na superfície. Isso faz parte da Eletromagnetismo, mais especificamente das condições de contorno para campos elétricos. Para resolver, vamos precisar entender o que é o vetor de deslocamento elétrico (
) e como ele se relaciona com as cargas livres na interface entre dois materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor de deslocamento elétrico
está relacionado ao campo elétrico
e à polarização
do material:
onde
é a permissividade do vácuo. Esse vetor é útil porque ele simplifica as equações de Maxwell em materiais dielétricos.
Passo 3
Agora, consideremos uma superfície que separa dois meios materiais diferentes, meio 1 e meio 2. Na interface entre esses meios, temos uma carga livre por unidade de área, denotada por
. Nossa meta é relacionar essa carga livre com a diferença dos vetores
nos dois lados da interface.
Passo 4
Para fazer isso, usamos uma das condições de contorno de Maxwell para o vetor
. Essa condição nos diz que a diferença das componentes normais de
nos dois lados da superfície é igual à densidade de carga livre na superfície:
Aqui,
é o vetor normal à superfície, apontando do meio 1 para o meio 2.
Passo 5
Vamos entender por que isso acontece. A carga livre na superfície cria um descontinuidade no vetor
. Essencialmente, a presença dessa carga faz com que o campo elétrico “mude” ao passar de um meio para o outro. A condição de contorno formaliza essa mudança, relacionando-a diretamente com a carga livre presente.
Passo 6
Então, partindo da definição das condições de contorno para
, já chegamos à expressão que precisamos demonstrar. Essa relação é fundamental para resolver problemas envolvendo interfaces entre materiais com diferentes propriedades elétricas.
Resposta
Portanto, demonstramos que
como solicitado.