Seja uma superfície separando dois meios materiais 1 e 2 . Demonstre que: a) ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para demonstrar que a diferença entre os vetores de deslocamento elétrico nos dois meios, quando projetada na direção da normal da superfície, é igual à densidade de carga livre na superfície. Isso faz parte da Eletromagnetismo, mais especificamente das condições de contorno para campos elétricos. Para resolver, vamos precisar entender o que é o vetor de deslocamento elétrico ( ) e como ele se relaciona com as cargas livres na interface entre dois materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor de deslocamento elétrico está relacionado ao campo elétrico e à polarização do material:
onde é a permissividade do vácuo. Esse vetor é útil porque ele simplifica as equações de Maxwell em materiais dielétricos.

Passo 3

Agora, consideremos uma superfície que separa dois meios materiais diferentes, meio 1 e meio 2. Na interface entre esses meios, temos uma carga livre por unidade de área, denotada por . Nossa meta é relacionar essa carga livre com a diferença dos vetores nos dois lados da interface.

Passo 4

Para fazer isso, usamos uma das condições de contorno de Maxwell para o vetor . Essa condição nos diz que a diferença das componentes normais de nos dois lados da superfície é igual à densidade de carga livre na superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície, apontando do meio 1 para o meio 2.

Passo 5

Vamos entender por que isso acontece. A carga livre na superfície cria um descontinuidade no vetor . Essencialmente, a presença dessa carga faz com que o campo elétrico “mude” ao passar de um meio para o outro. A condição de contorno formaliza essa mudança, relacionando-a diretamente com a carga livre presente.

Passo 6

Então, partindo da definição das condições de contorno para , já chegamos à expressão que precisamos demonstrar. Essa relação é fundamental para resolver problemas envolvendo interfaces entre materiais com diferentes propriedades elétricas.

Resposta

Portanto, demonstramos que
como solicitado.

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