Demonstre que:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Vetorial, mais especificamente envolvendo produtos vetoriais e produtos tensoriais. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam esses produtos e aplicar algumas propriedades básicas deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Se você tem dois vetores,
e
, o produto vetorial
resulta num vetor que é perpendicular a ambos. Agora, queremos calcular o produto vetorial desse resultado com outro vetor
, ou seja,
.
Passo 3
Para expandir
, podemos usar a identidade chamada de “identidade do paralelogramo” ou “identidade de Jacobi”. Essa identidade nos ajuda a simplificar expressões envolvendo produtos vetoriais múltiplos. A identidade é:
Passo 4
Agora, vamos olhar para o lado direito da igualdade que queremos demonstrar:
. O símbolo
representa o produto tensorial, que cria um tensor a partir de dois vetores. Quando fazemos
, estamos criando um tensor cujo produto com
resulta em
, e similarmente para
.
Passo 5
Então, aplicando
ao tensor
, temos:
Passo 6
Comparando as duas expressões:
e
vemos que elas são iguais.
Resposta
Portanto, demonstramos que
.