Demonstre que:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que . Isso está dentro da matéria de Álgebra Vetorial, mais especificamente envolvendo produtos vetoriais e produtos tensoriais. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam esses produtos e aplicar algumas propriedades básicas deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Se você tem dois vetores, e , o produto vetorial resulta num vetor que é perpendicular a ambos. Agora, queremos calcular o produto vetorial desse resultado com outro vetor , ou seja, .

Passo 3

Para expandir , podemos usar a identidade chamada de “identidade do paralelogramo” ou “identidade de Jacobi”. Essa identidade nos ajuda a simplificar expressões envolvendo produtos vetoriais múltiplos. A identidade é:

Passo 4

Agora, vamos olhar para o lado direito da igualdade que queremos demonstrar: . O símbolo representa o produto tensorial, que cria um tensor a partir de dois vetores. Quando fazemos , estamos criando um tensor cujo produto com resulta em , e similarmente para .

Passo 5

Então, aplicando ao tensor , temos:

Passo 6

Comparando as duas expressões:
e
vemos que elas são iguais.

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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