Se r, v, a denotam posição, velocidade e aceleração de uma partícula, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a derivada em relação ao tempo do produto escalar entre a aceleração
e o produto vetorial entre a velocidade
e a posição
é igual ao produto escalar entre a derivada da aceleração
e o mesmo produto vetorial
. Basicamente, estamos lidando com derivadas de produtos escalar e vetorial no contexto de movimento de uma partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de um produto escalar
em relação ao tempo é dada por:
Aqui,
e
são vetores que dependem do tempo.
Passo 3
Aplicando essa regra à expressão que temos:
Então, precisamos calcular duas derivadas: uma da aceleração
e outra do produto vetorial
.
Passo 4
Sabemos que a derivada da aceleração
em relação ao tempo é a taxa de variação da aceleração, que podemos chamar de
. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada do produto vetorial
. Sabemos que:
Aqui,
é a aceleração
e
é a velocidade
. Então:
Mas
(porque o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero), então:
Passo 6
Voltando à nossa expressão inicial:
Note que
é o produto escalar de
com o produto vetorial de
e
. Porém, o produto escalar entre um vetor e o produto vetorial de si mesmo com outro vetor é sempre zero, ou seja:
Passo 7
Portanto, a expressão simplifica para:
E isso é exatamente o que queríamos demonstrar!
Resposta
A derivada
é igual a
.