Se r, v, a denotam posição, velocidade e aceleração de uma partícula, mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a derivada em relação ao tempo do produto escalar entre a aceleração e o produto vetorial entre a velocidade e a posição é igual ao produto escalar entre a derivada da aceleração e o mesmo produto vetorial . Basicamente, estamos lidando com derivadas de produtos escalar e vetorial no contexto de movimento de uma partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de um produto escalar em relação ao tempo é dada por:
Aqui, e são vetores que dependem do tempo.

Passo 3

Aplicando essa regra à expressão que temos:
Então, precisamos calcular duas derivadas: uma da aceleração e outra do produto vetorial .

Passo 4

Sabemos que a derivada da aceleração em relação ao tempo é a taxa de variação da aceleração, que podemos chamar de . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada do produto vetorial . Sabemos que:
Aqui, é a aceleração e é a velocidade . Então:
Mas (porque o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero), então:

Passo 6

Voltando à nossa expressão inicial:
Note que é o produto escalar de com o produto vetorial de e . Porém, o produto escalar entre um vetor e o produto vetorial de si mesmo com outro vetor é sempre zero, ou seja:

Passo 7

Portanto, a expressão simplifica para:
E isso é exatamente o que queríamos demonstrar!

Resposta

A derivada é igual a .

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