Use a definição (1.7) para mostrar que o produto escalar é distributivo, isto é,
. (b) Se r e s são vetores que dependem do tempo, mostre que a regra do produto para derivação de produtos se aplica a
, ou seja, que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. Primeiro, vamos mostrar que o produto escalar é distributivo, ou seja, que
. Depois, vamos ver como derivar o produto escalar quando os vetores dependem do tempo, aplicando a regra do produto. Para isso, vamos usar a definição do produto escalar e algumas regras básicas de cálculo.
Passo 2
Vamos começar pela primeira parte: mostrar que o produto escalar é distributivo. A definição do produto escalar, que estamos chamando de definição (1.7), geralmente é dada por:
onde
e
são vetores no espaço tridimensional.
Passo 3
Aplicando essa definição ao produto
, temos que primeiro somar os vetores
e
:
Então, o produto escalar fica:
Passo 4
Distribuindo cada termo, temos:
Agora, observamos que isso pode ser reagrupado como:
Portanto, mostramos que:
Isso confirma que o produto escalar é distributivo.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que, se
e
são vetores que dependem do tempo, a derivada do produto escalar
segue a regra do produto. Ou seja, queremos provar que:
Passo 6
Para isso, vamos começar aplicando a definição do produto escalar aos vetores
e
:
Queremos derivar isso em relação ao tempo
.
Passo 7
Aplicando a regra da derivada para somas, temos:
Para cada termo
, aplicamos a regra do produto da derivada, que diz que
.
Passo 8
Então, temos:
Reagrupando os termos, fica:
Passo 9
Observamos que:
e
Portanto, podemos escrever:
Isso confirma que a regra do produto se aplica ao produto escalar de vetores que dependem do tempo.
Resposta
(a) Mostramos que o produto escalar é distributivo:
(b) Demonstramos que, para vetores
e
que dependem do tempo, a derivada do produto escalar segue a regra do produto: