Use a definição (1.7) para mostrar que o produto escalar é distributivo, isto é, . (b) Se r e s são vetores que dependem do tempo, mostre que a regra do produto para derivação de produtos se aplica a , ou seja, que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. Primeiro, vamos mostrar que o produto escalar é distributivo, ou seja, que . Depois, vamos ver como derivar o produto escalar quando os vetores dependem do tempo, aplicando a regra do produto. Para isso, vamos usar a definição do produto escalar e algumas regras básicas de cálculo.

Passo 2

Vamos começar pela primeira parte: mostrar que o produto escalar é distributivo. A definição do produto escalar, que estamos chamando de definição (1.7), geralmente é dada por:
onde e são vetores no espaço tridimensional.

Passo 3

Aplicando essa definição ao produto , temos que primeiro somar os vetores e :
Então, o produto escalar fica:

Passo 4

Distribuindo cada termo, temos:
Agora, observamos que isso pode ser reagrupado como:
Portanto, mostramos que:
Isso confirma que o produto escalar é distributivo.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que, se e são vetores que dependem do tempo, a derivada do produto escalar segue a regra do produto. Ou seja, queremos provar que:

Passo 6

Para isso, vamos começar aplicando a definição do produto escalar aos vetores e :
Queremos derivar isso em relação ao tempo .

Passo 7

Aplicando a regra da derivada para somas, temos:
Para cada termo , aplicamos a regra do produto da derivada, que diz que .

Passo 8

Então, temos:
Reagrupando os termos, fica:

Passo 9

Observamos que:
e
Portanto, podemos escrever:
Isso confirma que a regra do produto se aplica ao produto escalar de vetores que dependem do tempo.

Resposta

(a) Mostramos que o produto escalar é distributivo:
(b) Demonstramos que, para vetores e que dependem do tempo, a derivada do produto escalar segue a regra do produto:

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