Determine o ângulo entre a diagonal do corpo de um cubo e qualquer uma das diagonais de suas faces. [Sugestão: escolha um cubo de lado 1 e com um dos vértices em e o vértice oposto no ponto . Escreva o vetor que representa uma diagonal do corpo e o outro que represente a diagonal de uma face, e então determine o ângulo entre elas conforme o Problema 1.4.]

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar o ângulo entre a diagonal de um cubo e a diagonal de uma das suas faces. Vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica pra resolver isso. Precisamos saber como representar vetores no espaço e como calcular o ângulo entre dois vetores usando produto escalar e magnitudes.

Passo 2

Vamos imaginar um cubo com lado de comprimento 1. Colocamos um vértice no ponto de origem, , e o vértice oposto no ponto . Isso facilita a representação dos vetores que vamos usar.

Passo 3

A diagonal do corpo do cubo é o vetor que vai de até , então ela é representada por:

Agora, vamos escolher uma das diagonais de uma face. Por exemplo, na face que está no plano , a diagonal vai de até , então esse vetor é:

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre esses dois vetores, a gente usa a fórmula do produto escalar:

Onde:
- é o produto escalar dos vetores
- e são as magnitudes dos vetores
- é o ângulo entre eles
A gente vai rearranjar essa fórmula pra encontrar :

Passo 5

Primeiro, calculamos o produto escalar de e :
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:

Passo 6

Substituindo na fórmula do ângulo:

Simplificando:

Resposta

O ângulo entre a diagonal do corpo do cubo e a diagonal de uma de suas faces é aproximadamente .

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