Determine as derivadas parciais com respeito a
e
das seguintes funções: (a)
,
, onde
e
são constantes e
. Lembre-se de que, para calcular
, você deriva com respeito a
mantendo
e
constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis,
, onde
,
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
,
e
. Isso significa que vamos derivar a função em relação a cada uma dessas variáveis, mantendo as outras duas constantes durante cada derivação.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Teoria: A derivada parcial de uma função em relação a uma variável envolve derivar a função considerando as outras variáveis como constantes.
Aplicação: Olhando para a função
, percebemos que
não depende de
; ou seja, não há nenhum termo com
. Então, quando derivamos
em relação a
, os outros termos (
e
) são tratados como constantes.
Cálculo:
Porque não há nenhum
na expressão de
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
, ou seja,
.
Teoria: Ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Aplicação: Vamos ver os termos que envolvem
na função
:
-
: Derivada de em relação a é . -
: Aqui, é constante, então derivamos e multiplicamos por . -
: Não há aqui, então a derivada é 0.
Cálculo:
Passo 4
Por último, vamos derivar
em relação a
, ou seja,
.
Teoria: Ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Aplicação: Vamos analisar os termos que envolvem
na função
:
-
: Não há , então a derivada é 0. -
: Aqui, é constante, então derivamos e multiplicamos por . -
: Derivada de em relação a é .
Cálculo:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: