Determine as derivadas parciais com respeito a e das seguintes funções: (a) , , onde e são constantes e . Lembre-se de que, para calcular , você deriva com respeito a mantendo e constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis, , onde , e são constantes. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a , e . Isso significa que vamos derivar a função em relação a cada uma dessas variáveis, mantendo as outras duas constantes durante cada derivação.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Teoria: A derivada parcial de uma função em relação a uma variável envolve derivar a função considerando as outras variáveis como constantes.
Aplicação: Olhando para a função , percebemos que não depende de ; ou seja, não há nenhum termo com . Então, quando derivamos em relação a , os outros termos ( e ) são tratados como constantes.
Cálculo:
Porque não há nenhum na expressão de .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Teoria: Ao derivar em relação a , tratamos e como constantes.
Aplicação: Vamos ver os termos que envolvem na função :
  • : Derivada de em relação a é .
  • : Aqui, é constante, então derivamos e multiplicamos por .
  • : Não há aqui, então a derivada é 0.
Cálculo:

Passo 4

Por último, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Teoria: Ao derivar em relação a , tratamos e como constantes.
Aplicação: Vamos analisar os termos que envolvem na função :
  • : Não há , então a derivada é 0.
  • : Aqui, é constante, então derivamos e multiplicamos por .
  • : Derivada de em relação a é .
Cálculo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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