(a) Uma trena está em repouso no referencial , o qual está viajando com velocidade na configuração padrão relativa ao referencial . (a) A trena está no plano e faz um ângulo com o eixo (medido em ). Qual é o comprimento medido em , e qual é o ângulo com o eixo ? [Sugestão: pode ser útil pensar na trena como sendo a hipotenusa de um triângulo 30-60-90 de madeira.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma trena que está parada no referencial , que está se movendo a uma velocidade de em relação ao referencial . A trena está no plano formando um ângulo de com o eixo em . Precisamos descobrir qual é o comprimento da trena medido em e qual é o ângulo que ela forma com o eixo nesse referencial. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de contração do comprimento da teoria da relatividade restrita e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a trena está se movendo com uma velocidade em relação a . Segundo a relatividade restrita, quando um objeto se move em relação a um referencial, seu comprimento na direção do movimento é contraído. A fórmula para a contração do comprimento é:
onde:
  • é o comprimento medido no referencial ,
  • é o comprimento próprio (medido em ),
  • é a velocidade relativa,
  • é a velocidade da luz.

Passo 3

No entanto, a trena não está alinhada exatamente na direção do movimento. Ela faz um ângulo de com o eixo . Para encontrar o comprimento na direção do movimento ( ) e perpendicular a ela ( ), precisamos decompor o comprimento próprio nos eixos e .
Sabemos que:

Passo 4

A contração do comprimento afeta apenas a direção do movimento, ou seja, a componente no eixo . Assim, no referencial , teremos:
E a componente perpendicular ( ) permanece a mesma:

Passo 5

Agora, substituindo as expressões de e :

Passo 6

Para encontrar o comprimento total medido em , usamos o teorema de Pitágoras:

Passo 7

Agora, para encontrar o novo ângulo que a trena forma com o eixo em , usamos a tangente:
Então,

Resposta

O comprimento da trena medido em é aproximadamente e o ângulo que ela forma com o eixo é de cerca de .

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