(a) Uma trena está em repouso no referencial
, o qual está viajando com velocidade
na configuração padrão relativa ao referencial
. (a) A trena está no plano
e faz um ângulo
com o eixo
(medido em
). Qual é o comprimento
medido em
, e qual é o ângulo
com o eixo
? [Sugestão: pode ser útil pensar na trena como sendo a hipotenusa de um triângulo 30-60-90 de madeira.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma trena que está parada no referencial
, que está se movendo a uma velocidade de
em relação ao referencial
. A trena está no plano
formando um ângulo de
com o eixo
em
. Precisamos descobrir qual é o comprimento
da trena medido em
e qual é o ângulo
que ela forma com o eixo
nesse referencial. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de contração do comprimento da teoria da relatividade restrita e trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a trena está se movendo com uma velocidade
em relação a
. Segundo a relatividade restrita, quando um objeto se move em relação a um referencial, seu comprimento na direção do movimento é contraído. A fórmula para a contração do comprimento é:
onde:
-
é o comprimento medido no referencial , -
é o comprimento próprio (medido em ), -
é a velocidade relativa, -
é a velocidade da luz.
Passo 3
No entanto, a trena não está alinhada exatamente na direção do movimento. Ela faz um ângulo de
com o eixo
. Para encontrar o comprimento na direção do movimento (
) e perpendicular a ela (
), precisamos decompor o comprimento próprio
nos eixos
e
.
Sabemos que:
Passo 4
A contração do comprimento afeta apenas a direção do movimento, ou seja, a componente no eixo
. Assim, no referencial
, teremos:
E a componente perpendicular (
) permanece a mesma:
Passo 5
Agora, substituindo as expressões de
e
:
Passo 6
Para encontrar o comprimento total
medido em
, usamos o teorema de Pitágoras:
Passo 7
Agora, para encontrar o novo ângulo
que a trena forma com o eixo
em
, usamos a tangente:
Então,
Resposta
O comprimento da trena medido em
é aproximadamente
e o ângulo que ela forma com o eixo
é de cerca de
.