Determine o momento de inércia de um cubo uniforme de massa
e aresta
como no Problema 10.15 e então faça o seguinte: o cubo está deslizando com velocidade
, através de uma mesa plana horiontal e sem atrito, quando ele atinge um degrau muito baixo e perpendicular a
e o vértice inferior chega abruptamente ao repouso. (a) Considerando as quantidades que são conservadas antes, durante e depois de uma pequena colisão, determine a velocidade angular do cubo logo após a colisão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve momento de inércia, movimento translacional e rotacional de um cubo uniforme. A gente precisa calcular o momento de inércia do cubo e, depois, descobrir a velocidade angular do cubo logo após ele bater num degrau e o vértice parar de repente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como as leis de conservação de quantidade de movimento e de quantidades angulares, além de fórmulas de momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do cubo. O momento de inércia (
) é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para um cubo uniforme de massa
e aresta
, o momento de inércia em relação a um dos seus eixos que passa pelo centro é dado por:
Mas, como o cubo está pivotando em um vértice após a colisão, precisamos usar o Teorema de Steiner (ou teorema do eixo paralelo) para encontrar o momento de inércia em relação a esse novo eixo.
O Teorema de Steiner diz:
Onde:
-
é a distância entre o eixo central e o novo eixo.
No nosso caso, a distância do centro do cubo ao vértice é:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos analisar a situação antes e depois da colisão para usar a conservação da quantidade de movimento e da quantidade angular.
Antes da colisão:
- O cubo está se movendo com velocidade
e não está girando, então a quantidade de movimento linear é e a quantidade angular é zero.
Durante a colisão:
- O vértice inferior do cubo para instantaneamente, o que gera um torque que induce uma rotação no cubo.
Após a colisão:
- O cubo passa a ter uma velocidade angular
e uma nova velocidade linear .
Como não há forças externas agindo na horizontal (a mesa é sem atrito), a quantidade de movimento linear é conservada.
Passo 4
Vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento linear:
Isso implica que:
Mas o que mudou foi o estado de rotação do cubo. A colisão induziu uma velocidade angular
ao cubo.
Agora, vamos considerar a conservação da quantidade angular. Antes da colisão, a quantidade angular em relação ao ponto de contato (vértice que para) era zero. Após a colisão, temos:
Aqui:
-
é o momento de inércia em relação ao ponto de contato, que calculamos como . -
é o momento angular da quantidade de movimento linear em relação ao ponto de contato.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Substituindo
:
Cancelando
e
em ambos os lados:
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade angular do cubo logo após a colisão é: