Um prisma triangular (como a embalagem do chocolate Toblerone) de massa
, cujas extremidades são triângulos equiláteros paralelos ao plano
, com lados
, está com centro sobre a origem e com seu eixo ao longo do eixo
. Determine o momento de inércia dele quando em rotação em torno do eixo
. Sem resolver qualquer integral, obtenha e explique os dois produtos de inércia para a rotação em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o momento de inércia de um prisma triangular (tipo aquela embalagem do chocolate Toblerone) quando ele gira em torno do eixo z. A massa do prisma é
, as bases são triângulos equiláteros com lados de comprimento
, e o centro do prisma está na origem, com o eixo principal ao longo do eixo z. Além disso, a gente precisa encontrar e explicar os dois produtos de inércia para essa rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momentos de inércia e produtos de inércia na física, especialmente para objetos simétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para objetos simétricos, como o nosso prisma triangular, podemos usar fórmulas simplificadas. No caso de um prisma com eixo de simetria ao longo do z, o momento de inércia em torno desse eixo pode ser calculado usando a fórmula geral para prismas:
Como nosso triângulo é equilátero, temos que
, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os produtos de inércia. Eles são importantes para descrever como a massa está distribuída em relação a dois eixos diferentes. No caso do nosso prisma, temos que calcular os produtos de inércia
e
.
Para um objeto que é simétrico em relação aos eixos x e y, os produtos de inércia em torno do eixo z serão zero. Isso porque, devido à simetria, as distribuições de massa nas direções positivas e negativas desses eixos se cancelam.
Passo 4
Então, aplicando isso ao nosso prisma triangular, como ele é simétrico em relação aos eixos x e y, os produtos de inércia em torno do eixo z são:
Isso significa que não há mistura de movimentos nas direções x e z ou y e z quando o prisma gira em torno do eixo z.
Resposta
O momento de inércia do prisma triangular em rotação em torno do eixo z é
. Além disso, os produtos de inércia para essa rotação são
e
.