(a) Determine todos os nove elementos do tensor momento de inércia, com respeito ao CM, para um cuboide (a forma de um tijolo retangular) cujos lados são e nas direções e , respectivamente, e cuja massa é . Explique claramente por que você pode obter os elementos fora da diagonal sem resolver qualquer integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre o tensor momento de inércia de um cuboide, que é tipo um tijolo retangular. A questão nos pede para encontrar os nove elementos desse tensor em relação ao centro de massa (CM) do cuboide, que tem lados de comprimento , e nas direções , e , respectivamente, e massa . Para isso, vamos precisar entender o que é o tensor momento de inércia, usar suas propriedades e aplicar fórmulas específicas para formas geométricas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor momento de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos seus eixos de rotação. Para um corpo rígido, os elementos da diagonal da matriz (como , , ) representam os momentos de inércia em relação a cada eixo, enquanto os elementos fora da diagonal (como , , etc.) são chamados de produtos de inércia.

Passo 3

Agora, vamos considerar a simetria do cuboide. Como ele tem lados diferentes nas três direções, mas é simétrico em relação a cada plano principal (xy, yz, zx), isso significa que os produtos de inércia fora da diagonal serão zero. Isso acontece porque, para cada pedaço de massa deslocado em uma direção, há um pedaço equivalente deslocado na direção oposta, cancelando os efeitos nos termos fora da diagonal.

Passo 4

Com isso em mente, só precisamos calcular os elementos na diagonal. As fórmulas para os momentos de inércia de um cuboide em relação aos seus eixos principais são:

Passo 5

Vamos simplificar essas fórmulas:

Resposta

O tensor momento de inércia em relação ao centro de massa do cuboide é:

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