Um disco sólido uniforme de massa e raio gira em torno de um eixo fixo perpendicular à sua face com frequência angular de . Calcule o módulo do momento angular do disco quando o eixo de rotação (b) passa por um ponto intermediário entre o centro e a borda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco sólido uniforme com massa de 3,00 kg e raio de 0,200 m que está girando com uma frequência angular de 6,00 rad/s. A gente precisa calcular o módulo do momento angular quando o eixo de rotação passa por um ponto intermediário entre o centro e a borda do disco. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular é calculado pela fórmula:
onde é o momento de inércia e é a frequência angular.

Passo 3

O momento de inércia depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um disco sólido girando em torno do seu centro, o momento de inércia é:
onde é a massa e é o raio.

Passo 4

No entanto, o eixo de rotação está mudando de posição. Quando o eixo passa por um ponto intermediário entre o centro e a borda, precisamos usar o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos) para encontrar o novo momento de inércia:
onde é a distância entre os dois eixos.

Passo 5

Como o ponto intermediário está a meio caminho entre o centro e a borda, temos:

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do momento de inércia:

Passo 7

Com o momento de inércia calculado, agora vamos encontrar o momento angular:

Resposta

O módulo do momento angular do disco é .

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