Um disco sólido uniforme de massa
e raio
gira em torno de um eixo fixo perpendicular à sua face com frequência angular de
. Calcule o módulo do momento angular do disco quando o eixo de rotação (b) passa por um ponto intermediário entre o centro e a borda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco sólido uniforme com massa de 3,00 kg e raio de 0,200 m que está girando com uma frequência angular de 6,00 rad/s. A gente precisa calcular o módulo do momento angular quando o eixo de rotação passa por um ponto intermediário entre o centro e a borda do disco. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular
é calculado pela fórmula:
onde
é o momento de inércia e
é a frequência angular.
Passo 3
O momento de inércia
depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um disco sólido girando em torno do seu centro, o momento de inércia é:
onde
é a massa e
é o raio.
Passo 4
No entanto, o eixo de rotação está mudando de posição. Quando o eixo passa por um ponto intermediário entre o centro e a borda, precisamos usar o Teorema de Steiner (ou Teorema dos Eixos Paralelos) para encontrar o novo momento de inércia:
onde
é a distância entre os dois eixos.
Passo 5
Como o ponto intermediário está a meio caminho entre o centro e a borda, temos:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do momento de inércia:
Passo 7
Com o momento de inércia calculado, agora vamos encontrar o momento angular:
Resposta
O módulo do momento angular do disco é
.