Todos os exemplos deste capítulo e todos os problemas (exceto este) tratam com forças que derivam de uma energia potencial
[ou ocasionalmente
. Entretanto, a demonstração das equações de Hamilton dada na Seção 13.3 se aplica para qualquer sistema para o qual as equações de Lagrange são válidas e isso pode incluir forças que não são obtidas de uma energia potencial. Um exemplo importante de tais forças é a força magnética sobre uma partícula carregada. (a) Use a Lagrangiana (7.103) para mostrar que a Hamiltoniana para uma carga
em um campo eletromagnético é
(Essa Hamiltoniana desempenha um papel importante na mecânica quântica de partículas carregadas.) (b) Mostre que as equaçães de Hamilton são equivalentes à equação familiar da força de Lorentz
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas partes:
(a) Usar a Lagrangiana dada para mostrar que a Hamônica para uma carga
em um campo eletromagnético é
(b) Demonstrar que as equações de Hamilton são equivalentes à famosa força de Lorentz:
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de Lagrangiana, Hamiltoniana, e das equações de Hamilton. Além disso, vamos usar os potenciais eletromagnéticos
(potencial vetorial) e
(potencial escalar), que estão relacionados aos campos elétrico
e magnético
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lagrangiana para uma partícula carregada em um campo eletromagnético. A Lagrangiana geral é dada por:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade da partícula, -
é a carga da partícula, -
é o potencial vetorial, -
é o potencial escalar.
Passo 3
Para encontrar a Hamiltoniana
, precisamos primeiro determinar o momento generalizado
. Ele é obtido derivando a Lagrangiana em relação à velocidade:
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação para a velocidade
:
Passo 5
A Hamiltoniana é definida por:
Substituindo
na expressão acima:
Passo 6
Simplificando a expressão, observamos que os termos se cancelam de forma que:
Isso mostra que a Hamiltoniana para uma carga
em um campo eletromagnético é a que foi proposta.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos mostrar que as equações de Hamilton levam à equação da força de Lorentz. As equações de Hamilton são:
Passo 8
Calculando
:
Isso confirma que a velocidade
está corretamente relacionada ao momento
.
Passo 9
Agora, calculamos
. Como
e
podem depender da posição
, temos:
Portanto,
Passo 10
Sabendo que os campos elétrico e magnético estão relacionados aos potenciais por:
e considerando que, sob condições estáticas (
), temos:
Isso corresponde exatamente à força de Lorentz, ou seja,
Resposta
(a) A Hamiltoniana para uma carga
em um campo eletromagnético é
(b) As equações de Hamilton resultam na força de Lorentz