Todos os exemplos deste capítulo e todos os problemas (exceto este) tratam com forças que derivam de uma energia potencial [ou ocasionalmente . Entretanto, a demonstração das equações de Hamilton dada na Seção 13.3 se aplica para qualquer sistema para o qual as equações de Lagrange são válidas e isso pode incluir forças que não são obtidas de uma energia potencial. Um exemplo importante de tais forças é a força magnética sobre uma partícula carregada. (a) Use a Lagrangiana (7.103) para mostrar que a Hamiltoniana para uma carga em um campo eletromagnético é
(Essa Hamiltoniana desempenha um papel importante na mecânica quântica de partículas carregadas.) (b) Mostre que as equaçães de Hamilton são equivalentes à equação familiar da força de Lorentz .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas partes:
(a) Usar a Lagrangiana dada para mostrar que a Hamônica para uma carga em um campo eletromagnético é
(b) Demonstrar que as equações de Hamilton são equivalentes à famosa força de Lorentz:
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de Lagrangiana, Hamiltoniana, e das equações de Hamilton. Além disso, vamos usar os potenciais eletromagnéticos (potencial vetorial) e (potencial escalar), que estão relacionados aos campos elétrico e magnético .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lagrangiana para uma partícula carregada em um campo eletromagnético. A Lagrangiana geral é dada por:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade da partícula,
  • é a carga da partícula,
  • é o potencial vetorial,
  • é o potencial escalar.

Passo 3

Para encontrar a Hamiltoniana , precisamos primeiro determinar o momento generalizado . Ele é obtido derivando a Lagrangiana em relação à velocidade:

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação para a velocidade :

Passo 5

A Hamiltoniana é definida por:
Substituindo na expressão acima:

Passo 6

Simplificando a expressão, observamos que os termos se cancelam de forma que:
Isso mostra que a Hamiltoniana para uma carga em um campo eletromagnético é a que foi proposta.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos mostrar que as equações de Hamilton levam à equação da força de Lorentz. As equações de Hamilton são:

Passo 8

Calculando :
Isso confirma que a velocidade está corretamente relacionada ao momento .

Passo 9

Agora, calculamos . Como e podem depender da posição , temos:
Portanto,

Passo 10

Sabendo que os campos elétrico e magnético estão relacionados aos potenciais por:
e considerando que, sob condições estáticas ( ), temos:
Isso corresponde exatamente à força de Lorentz, ou seja,

Resposta

(a) A Hamiltoniana para uma carga em um campo eletromagnético é
(b) As equações de Hamilton resultam na força de Lorentz

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