*Dois circuitos, em interação, estão percorridos por correntes I1 e I2.
a) Mostre que a energia magnética do sistema é
Ep=12 L1 I1^2+12 L2 I2^2+M I1 I2
em que L1 e L2 são as autoindutâncias e M é a indutância mútua.
b) A quantidade M I1 I2 pode ser positiva ou negativa, mas a energia Ep é sempre positiva (ou zero). Apresente um argumento que justifique esta última afirmativa. Mostre que em decorrência de Ep ser sempre positiva (ou zero),
L1 L2 >= M^2

Passo 1

O enunciado trata de dois circuitos acoplados por indutância mútua, percorridos por correntes (I1,I2). Queremos mostrar (a) que a energia magnética armazenada no sistema é
Ep=tfrac12,L1I1^2+tfrac12,L2I2^2+M,I1I2,
onde L1,L2 são as autoindutâncias e M a indutância mútua, e (b) justificar por que Ep>=0 sempre e deduzir daí que
L1L2>= M^2
Para isso vamos usar a definição de fluxo magnético ligado a cada circuito e a expressão geral de energia em termos de Phi,dI.

Passo 2

Cada circuito tem fluxo ligado que depende das duas correntes. Escrevemos
Phi1=L1I1+M,I2, Phi2=M,I1+L2I2
A energia magnética total pode ser obtida por
Ep =tfrac12integral0^I1 Phi1,dI1 ;+;tfrac12integral0^I2 Phi2,dI2,
mantendo a outra corrente fixa ao integrar cada termo.

Passo 3

Ao integrar temos
integral0^I1(L1I1+M,I2),dI1 =L1,tfracI1^22+M,I2,I1,
e
integral0^I2(M,I1+L2I2),dI2 =M,I1,I2+L2,tfracI2^22
Somando e dividindo por 2 (para não contar duas vezes o termo misto) resulta exatamente
Ep =tfrac12,L1I1^2+tfrac12,L2I2^2+M,I1I2

Passo 4

Podemos enxergar como forma quadrática em :
Para que para todo essa matriz deve ser semidefinida positiva, o que exige que seus menores principais sejam não negativos:

Passo 5

Como autoindutâncias são positivas ( L1,L2>0), a condição
L1L2-M^2>=0
implica a desigualdade
L1L2>= M^2,
e garante que a energia Ep seja sempre não negativa.

Resposta

(a) Ep=tfrac12,L1I1^2+tfrac12,L2I2^2+M,I1I2
(b) A expressão é uma forma quadrática semidefinida positiva, logo Ep>=0 para todo (I1,I2), o que implica
L1L2>= M^2

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