*Dois circuitos, em interação, estão percorridos por correntes
e
.
a) Mostre que a energia magnética do sistema é
em que
e
são as autoindutâncias e
é a indutância mútua.
b) A quantidade
pode ser positiva ou negativa, mas a energia
é sempre positiva (ou zero). Apresente um argumento que justifique esta última afirmativa. Mostre que em decorrência de
ser sempre positiva (ou zero),
a) Mostre que a energia magnética do sistema é
b) A quantidade
Passo 1
O enunciado trata de dois circuitos acoplados por indutância mútua, percorridos por correntes
. Queremos mostrar (a) que a energia magnética armazenada no sistema é
onde
são as autoindutâncias e
a indutância mútua, e (b) justificar por que
sempre e deduzir daí que
Para isso vamos usar a definição de fluxo magnético ligado a cada circuito e a expressão geral de energia em termos de
.
Passo 2
Cada circuito tem fluxo ligado que depende das duas correntes. Escrevemos
A energia magnética total pode ser obtida por
mantendo a outra corrente fixa ao integrar cada termo.
Passo 3
Ao integrar temos
e
Somando e dividindo por 2 (para não contar duas vezes o termo misto) resulta exatamente
Passo 4
Podemos enxergar
como forma quadrática em
:
Para que
para todo
essa matriz deve ser semidefinida positiva, o que exige que seus menores principais sejam não negativos:
Passo 5
Como autoindutâncias são positivas (
), a condição
implica a desigualdade
e garante que a energia
seja sempre não negativa.
Resposta
(a)
(b) A expressão é uma forma quadrática semidefinida positiva, logo para todo
, o que implica
(b) A expressão é uma forma quadrática semidefinida positiva, logo