Obtenha a Lagrangiana para um cilindro (massa
, raio
e momento de inércia
) que rola, sem deslizar, para baixo em uma rampa plana que tem um ângulo
com a horizontal. Use como suas coordenadas generalizadas a distância
do cilindro medida para baixo ao longo da rampa a partir de sua posição inicial. Escreva a equação de Lagrange e resolva-a para a aceleração
. Lembre-se de que
, onde
é a velocidade do centro de massa e
a velocidade angular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Lagrangiana de um cilindro rolando sem deslizar por uma rampa inclinada. Isso envolve conceitos de Mecânica Lagrangiana, que é uma forma de descrever o movimento dos sistemas físicos. Para isso, vamos precisar das expressões para a energia cinética e a energia potencial do cilindro, além de entender as relações entre movimento linear e angular quando o cilindro está rolando sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas generalizadas. O enunciado já nos dá que a coordenada é a distância
que o cilindro desce ao longo da rampa. Isso simplifica as coisas porque podemos usar apenas uma variável para descrever a posição do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade do centro de massa do cilindro. Como o cilindro está se movendo ao longo da rampa, a velocidade
é a derivada de
em relação ao tempo:
Passo 4
Como o cilindro está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a velocidade linear
e a velocidade angular
. Essa relação é dada por:
Isso garante que o ponto de contato do cilindro com a rampa não deslize.
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia cinética total
do cilindro. A energia cinética tem duas partes: a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação. Conforme o enunciado:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia potencial
do cilindro. A energia potencial depende da altura do centro de massa em relação a um ponto de referência. Quando o cilindro desce uma distância
ao longo da rampa inclinada com ângulo
, a altura diminui conforme:
Então, a energia potencial é:
Passo 7
Agora temos tanto a energia cinética
quanto a energia potencial
. A Lagrangiana
é definida como:
Passo 8
Com a Lagrangiana em mãos, vamos usar a equação de Lagrange para obter a equação do movimento. A equação de Lagrange é:
Primeiro, calculamos
:
Depois, derivamos isso em relação ao tempo:
Agora, calculamos
:
Substituindo tudo na equação de Lagrange:
Passo 9
Agora, vamos resolver essa equação para a aceleração
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando o sinal negativo, que indica que a aceleração é na direção descendente:
Resposta
A aceleração do cilindro é: