Obtenha a Lagrangiana para um cilindro (massa , raio e momento de inércia ) que rola, sem deslizar, para baixo em uma rampa plana que tem um ângulo com a horizontal. Use como suas coordenadas generalizadas a distância do cilindro medida para baixo ao longo da rampa a partir de sua posição inicial. Escreva a equação de Lagrange e resolva-a para a aceleração . Lembre-se de que , onde é a velocidade do centro de massa e a velocidade angular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Lagrangiana de um cilindro rolando sem deslizar por uma rampa inclinada. Isso envolve conceitos de Mecânica Lagrangiana, que é uma forma de descrever o movimento dos sistemas físicos. Para isso, vamos precisar das expressões para a energia cinética e a energia potencial do cilindro, além de entender as relações entre movimento linear e angular quando o cilindro está rolando sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas generalizadas. O enunciado já nos dá que a coordenada é a distância que o cilindro desce ao longo da rampa. Isso simplifica as coisas porque podemos usar apenas uma variável para descrever a posição do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade do centro de massa do cilindro. Como o cilindro está se movendo ao longo da rampa, a velocidade é a derivada de em relação ao tempo:

Passo 4

Como o cilindro está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a velocidade linear e a velocidade angular . Essa relação é dada por:
Isso garante que o ponto de contato do cilindro com a rampa não deslize.

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética total do cilindro. A energia cinética tem duas partes: a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação. Conforme o enunciado:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia potencial do cilindro. A energia potencial depende da altura do centro de massa em relação a um ponto de referência. Quando o cilindro desce uma distância ao longo da rampa inclinada com ângulo , a altura diminui conforme:
Então, a energia potencial é:

Passo 7

Agora temos tanto a energia cinética quanto a energia potencial . A Lagrangiana é definida como:

Passo 8

Com a Lagrangiana em mãos, vamos usar a equação de Lagrange para obter a equação do movimento. A equação de Lagrange é:
Primeiro, calculamos :
Depois, derivamos isso em relação ao tempo:
Agora, calculamos :
Substituindo tudo na equação de Lagrange:

Passo 9

Agora, vamos resolver essa equação para a aceleração :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando o sinal negativo, que indica que a aceleração é na direção descendente:

Resposta

A aceleração do cilindro é:

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