Use o método Lagrangiano para determinar a aceleração da máquina de Atwood do Exemplo 7.3, incluindo o efeito da roldana com momento de inércia
. (A energia cinética da roldana é
, onde
é a velocidade angular.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que usar o método Lagrangiano para achar a aceleração na máquina de Atwood, considerando o efeito da roldana que tem um momento de inércia
. Isso envolve conceitos de dinâmica clássica, especificamente o uso de energia cinética e potencial para formular as equações de movimento. Vamos precisar saber como calcular a energia cinética dos corpos em movimento e o da roldana, além de usar as equações de Lagrange para encontrar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a máquina de Atwood: temos duas massas, digamos
e
, presas por um fio que passa por uma roldana. Quando uma massa desce, a outra sobe. Como a roldana tem momento de inércia
, ela também contribui para a energia cinética do sistema.
Passo 3
Vamos definir a coordenada generalizada. Se considerarmos que
é o deslocamento da massa
para baixo, então a massa
sobe igualmente, ou seja, seu deslocamento será
. A velocidade de cada massa será a derivada de sua posição em relação ao tempo:
para
e
para
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética (
) do sistema. Temos duas partes:
-
As energias cinéticas das massas:
-
A energia cinética da roldana. Como a roldana está girando, sua energia cinética é:
Mas
, a velocidade angular, está relacionada com a velocidade linear das massas pela relação
, onde
é o raio da roldana. Então:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial (
). Supondo que a energia potencial seja zero na posição inicial, temos:
Aqui,
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
O Lagrangiano (
) é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 7
Aplicamos a equação de Lagrange:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Agora, derivamos em relação ao tempo:
Substituindo na equação de Lagrange:
Passo 8
Resolvendo para
:
A aceleração
é negativa porque, conforme definimos a direção positiva, se
, a massa
desce.
Resposta
A aceleração da máquina de Atwood, incluindo o efeito da roldana com momento de inércia
, é