Use o método Lagrangiano para determinar a aceleração da máquina de Atwood do Exemplo 7.3, incluindo o efeito da roldana com momento de inércia . (A energia cinética da roldana é , onde é a velocidade angular.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que usar o método Lagrangiano para achar a aceleração na máquina de Atwood, considerando o efeito da roldana que tem um momento de inércia . Isso envolve conceitos de dinâmica clássica, especificamente o uso de energia cinética e potencial para formular as equações de movimento. Vamos precisar saber como calcular a energia cinética dos corpos em movimento e o da roldana, além de usar as equações de Lagrange para encontrar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a máquina de Atwood: temos duas massas, digamos e , presas por um fio que passa por uma roldana. Quando uma massa desce, a outra sobe. Como a roldana tem momento de inércia , ela também contribui para a energia cinética do sistema.

Passo 3

Vamos definir a coordenada generalizada. Se considerarmos que é o deslocamento da massa para baixo, então a massa sobe igualmente, ou seja, seu deslocamento será . A velocidade de cada massa será a derivada de sua posição em relação ao tempo: para e para .

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética ( ) do sistema. Temos duas partes:
  1. As energias cinéticas das massas:
  2. A energia cinética da roldana. Como a roldana está girando, sua energia cinética é:
Mas , a velocidade angular, está relacionada com a velocidade linear das massas pela relação , onde é o raio da roldana. Então:
Somando tudo:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial ( ). Supondo que a energia potencial seja zero na posição inicial, temos:
Aqui, é a aceleração da gravidade.

Passo 6

O Lagrangiano ( ) é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 7

Aplicamos a equação de Lagrange:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Agora, derivamos em relação ao tempo:
Substituindo na equação de Lagrange:

Passo 8

Resolvendo para :
A aceleração é negativa porque, conforme definimos a direção positiva, se , a massa desce.

Resposta

A aceleração da máquina de Atwood, incluindo o efeito da roldana com momento de inércia , é

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